現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-05-12 12:28本頁(yè)面
【正文】 ． (1)集合論觀點(diǎn)． 19世紀(jì)末由 G．康托爾所創(chuàng)立的集合論，最初遭到許多數(shù)學(xué)家 (包括克羅內(nèi)克、克萊因和龐加萊等 )的反對(duì)，但到 20世紀(jì)初，這一新的理論在數(shù)學(xué)中的作用越來(lái)越明顯，集合概念本身被抽象化了，在弗雷歇 (M． Frechet)等人的著作 (《 關(guān)于泛函演算若干問(wèn)題 》 ， 1906)中不是數(shù)集或點(diǎn)集，而可以是任意性質(zhì)的元素集合，如函數(shù)的集合，曲線的集合等等．這就使集合論能夠作為一種普遍的語(yǔ)言而進(jìn)入數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域，同時(shí)引起了數(shù)學(xué)中基本概念 (如積分、函數(shù)、空間等等 )的深刻變革． 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 更高的抽象化 2022/5/29 27 (2)公理化方法． H．外爾 (Weyl)曾說(shuō)過(guò)： “ 20世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)十分突出的方面是公理化方法所起的作用極度增長(zhǎng)，公理化方法僅僅用來(lái)闡明我們所建立的理論的基礎(chǔ)，而現(xiàn)在它卻成為具體數(shù)學(xué)研究的工具． ” 現(xiàn)代公理化方法的奠基人是 ．我們已經(jīng)知道，雖然歐幾里得已用公理化方法總結(jié)了古代的幾何知識(shí)，但他的公理系統(tǒng)是不完備的．希爾伯特在 1899年發(fā)表的 《 幾何基礎(chǔ) 》 中則提出第一個(gè)完備的公理系統(tǒng)．與以往相比，希爾伯特公理化方法具有兩個(gè)本質(zhì)的飛躍． 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 更高的抽象化 2022/5/29 28 首先是希爾伯特在幾何對(duì)象上達(dá)到了更深刻的抽象。 歐幾里得幾何對(duì)所討論的幾何對(duì)象 (點(diǎn)、線、面等 )都給以描述性定義，而希爾伯特發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、線、面的具體定義本身在數(shù)學(xué)上并不重要，它們之所以成為討論的中心，僅僅是由于它們與所選擇的公理的關(guān)系． 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 更高的抽象化 2022/5/29 29 因此希爾伯特的公理體系雖然也是從“點(diǎn)、線、面”這些術(shù)語(yǔ)開(kāi)始，但它們都是純粹抽象的對(duì)象，沒(méi)有特定的具體內(nèi)容．正如希爾伯特本人曾形象地解釋的那樣：不論是管這些對(duì)象叫點(diǎn)、線、面，還是叫桌子、椅子、啤酒杯，它們都可以成為這樣的幾何對(duì)象，對(duì)于它們而言，公理所表述的關(guān)系都成立．這就賦予了公理系統(tǒng)的最大的一般性，當(dāng)賦予這些抽象對(duì)象以具體內(nèi)容時(shí)，就形成各種特殊的理論． 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 更高的抽象化 2022/5/29 30 其次，希爾伯特考察了各公理間的相互關(guān)系，明確提出了對(duì)公理系統(tǒng)的基本邏輯要求，即： ①相容性，②獨(dú)立性，③完備性． 由于上述的特點(diǎn)，希爾伯特的公理化方法不僅使幾何學(xué)具備了嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，而且逐步滲透到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，成為組織、綜合數(shù)學(xué)知識(shí)并推動(dòng)具體數(shù)學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具． 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 更高的抽象化 2022/5/29 31 集合論觀點(diǎn)與公理化方法在 20世紀(jì)逐漸成為數(shù)學(xué)抽象的范式，它們相互結(jié)合將數(shù)學(xué)的發(fā)展引向了高度抽象的道路．這方面的發(fā)展，導(dǎo)致了 20世紀(jì)上半葉實(shí)變函數(shù)論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)等具有標(biāo)志性的四大抽象分支的崛興．這四大分支所創(chuàng)造的抽象語(yǔ)言、結(jié)構(gòu)及方法，又滲透到數(shù)論、微分方程論、微分幾何、代數(shù)幾何、復(fù)變函數(shù)論及概率論等經(jīng)典學(xué)科，推動(dòng)它們?cè)诔橄蟮幕A(chǔ)上革新提高、演化發(fā)展． 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 更高的抽象化 2022/5/29 32 ? 中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 2022/5/29 33 現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的涵義 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)、現(xiàn)狀 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用（信息安全部分）
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1