【正文】 準(zhǔn)差 ， 其與x 有相同的量綱 xs D? 方差是一個(gè)用來體現(xiàn)隨機(jī)變量 x 取值分散程度的量 . 方差的意義 而如果 Dx 值小 , 則表示 x 的取值比較集中 , 以 Ex 作為隨機(jī)變量的代表性好 . 如果 Dx 值大 , 表示 x 取值分散程度大 , Ex 的代表性差 。 離散型隨機(jī)變量的方差 ,)(12kkk pExD ?????? xx連續(xù)型隨機(jī)變量的方差 ,)()( 2 dxxpExD ? ???? ?? xx方差的計(jì)算 (1) 利用定義計(jì)算 , 2 , 1 , } { 的分布律 是 若 x k p x x P k k … ? ? ? ) ( 的分布密度 為 若 x x p 則 則 )()( 21222 vvEED ???? xxx證明 ? ? 2xxx EED ??])(2[ 22 xxxx EEE ???22 )(2 xxxx EEEE ???22 )( xx EE ??(2) 利用公式計(jì)算 xx 22 EE ??亦即 二階原點(diǎn)矩減去一階原點(diǎn)矩的平方 。 即方差等于 望的平方 , 練習(xí) : 一批零件的長度有如下的分布律 ,求這批零件的長度的方差。 321px ??????xE解 ?2)( xxx EED ??)()()( 222 ?????????22 )( xxx EED ?? 2222 ??????xE或 ???? ???)()()( 222 ???????證明 22 )( ECECDC ??1o 設(shè) C 是常數(shù) , 則有 0?DC22 CC ?? 0?2o 設(shè) x 是一個(gè)隨機(jī)變量 , C 是常數(shù) , 則有 xx DCCD 2)( ?證明 )( xCDxDC 2?2)]([ xx CECE ??22 )( xx EEC ??=E(Cx ? CEx )2 =E[C 2 (x ? Ex )2] 方差的性質(zhì) hxhx DDD ??? )(3o 設(shè) x, h 相互獨(dú)立 , Dx, Dh 存在 , 則 例 11 設(shè) 服從兩點(diǎn)分布，即 qpE ???? 01xxp01pp ?1解 例 1中已求得 ,p?求 Dx 而 )1(01 222 ppE ?????x = p 于是有 22 )( xxx EED ?? 2pp ?? .pq?? p(1?p) ,方差 為 pq兩點(diǎn)分布的期望 為 p例 : 二項(xiàng)分布 設(shè) x ~ B(n,p), 求 Dx 易知 x = x1+ x2+ … + xn ,且 x1, x2, … , xn相互獨(dú)立 , 引入隨機(jī)變量 nkkAkAk ?,2,1,0,1 ?????次試驗(yàn)不發(fā)生在第次試驗(yàn)發(fā)生在第x)(1???nkkDD xx ???nkkD1x np q?由兩點(diǎn)分布可知 Dxk = pq k =1,2,… ,n 從而 發(fā)生的次數(shù)次試驗(yàn)中表示在第或令 Akkx,方差 為 npq二項(xiàng)分布的期望 為 np例 12 設(shè) 服從泊松分布，求 Dx lx ?E解 例 4中已求得 而 所以 .l?泊松分布的期望和方差都等于參數(shù) l ll ll ?? ? ee2 .2 ll ??2xE xxx EE ??? )]1([22 )( xxx EED ?? 22 lll ???l])1([ xxx ??? E例 9中已得 2xE例 設(shè) x ~ U(a,b), 求 Dx ).(31 22 baba ???解 例 5中已得 ? ?? ba xdxabE1x ).(21 ba ??22 )( xxx EED ??因而.12 )(2ab ?? )2(41)(31 2222 babababa ??????,方差 為 12)( 2ab ?均勻分布的期望 為 2ba?例 13 x 服從參數(shù)為 l 的指數(shù)分布 , ?????? ?.0,0,0,)(xxexp xllkkkkEvlx!??求 Dx 解 例 10中已得 ,2,1 22 lxlx ??? EE22 )( xxx EED ?? 222112lll?????????例 15 求正態(tài)分布的 Dx 前面已經(jīng)求得 22 )( xxx EED ??= 0 + 1 ,0),1,0(~ ?xx EN 則若,),(~ 2 mxsmx ?EN 則若則若 ),1,0(~)1( Nx02 ?? xEdxexx22221 ??????? ? 2221 xdex ???????? ?dxexexx22222121 ?????????????? ??標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望和方差 分別為兩個(gè)參數(shù) 0 和 1 = 1 于是有 ),1,0(~ Ns mxh ??則 ),(~)2( 2smx N若= E(s2h2) = E( m + sh ?m )2 = s2 Ex =m Eh2 = Dh ? 1 正態(tài)分布的期望和方差 分別為兩個(gè)參數(shù) m 和 s 2 mxhhh ???? EEDE ,1,0: 2注意shmxs mxh ???? 即得由Dx = E(x ?E x )2 = E(sh)2 = s2Eh 2 10 ?? p p )1( pp ?np )1( pnp ?0?l l lba? 2)( ba ? 12)( 2ab ?0?l分 布 參數(shù) 數(shù)學(xué)期望 方差 兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布 )0(, 2 ?sσμ μ 2σ1 0 , 1 ? ? ? p n 幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差 2/1/1 ll例 5 設(shè)隨機(jī)變量 x 的數(shù)學(xué)期望為 m , 方差為 s 2, 求 隨機(jī)變量 h = 的數(shù)學(xué)期望 Eh 和方差 Dh smx?)(1 mxsh ?? EE解 0)(1 ??? mms )(1 mxs EE ??)(1 2 mxsh ?? DD ? ?mxs DD ?? 21 1)0(1 22 ???? ss化”為數(shù)學(xué)期望將一個(gè)隨機(jī)變量“標(biāo)準(zhǔn)即用 s mx ?的新隨機(jī)變量。方差為為 1,0)10(~),(~ 2 ，則例如若 NN s mxsmx ?練習(xí) 1. 已知 x ~ B(n, p), Ex = , Dx = , 則 n = _____ , p = _____ . 6 2. 已知隨機(jī)變量 x 的可能值為 x1 ? ?2, x2 ? ?1, x3 ? 1, 又 Ex ? , Ex 2 ? , 求 x 的分布列 3. 設(shè) ~ P(l), 且已知 E [(x?1) (x?2)]=1 , 求 l (習(xí)題 42) 解 由 x ~ P(l),可知 Ex =l , Ex 2 =l2 ? l )23()]2)(1[( 2 ????? xxxx EE222323 222 ?????????? lllllxx EE11222 ????? lll由題設(shè)例 (習(xí)題 31). 設(shè)隨機(jī)變量 x 的概率分布為 : ?,2,1,21)( ??? kkP kx xx DE ,求解 kkkEv 2111 ??????? x11 2121 ???????????? ?kkk 22111212 ??????? ???22 1)1(21 11???? ????? kkkkxxxxxxx EEEEv ??????? ])1[(])1[(22221)1(1???? ????kkkk622112213 ???????? ???226 2212 ????? vvD x習(xí)題 34 設(shè)隨機(jī)變量 x 的密度函數(shù)為 : ?????????axaxxaabxp,0),()(ba,求解 ??? ????? ????? aa a dxxaabdxxaabdxxp 0 )(2)()(1由1?xDab1?? axabbx0222 ?????? ?? ab?? ????? dxxxpE )(x 0)( ??? ??a a dxxabax? ????? dxxpxE )(22x ?? ?? a a dxxaabx )(2 ? ?? a dxxaxab0 2 )(2aabxbx043432 ???????? ?????????? ?? ababa 43243634 33 baba ????? 22 )( xxx EED 606 22 aa ?? 6 61,61 ????? abaD x由63ba?62a?例 (習(xí)題 36) 設(shè) ~ N(m,s 2 ), 證 s?mx 2|| ??E求證x ? m ? sh ),1,0(~ Ns mxh ??|||||| hsshmx EEE ???dxexx20222 ??????s?????0222 xes???????????? ????022lim2 eexxs?dxexx2221 ?????? ?? ?ss?2?P166 習(xí)題 32 作業(yè) 167。 二維隨機(jī)變量及其分布 有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述是不夠的，需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述 . 在打靶時(shí) ,命中點(diǎn)的位置是由一對 (兩個(gè)坐標(biāo) )來確定的 . 飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè) (三個(gè)坐標(biāo)）來確定的等等 . 一般稱 n個(gè)隨機(jī)變量的整體 x =(x1, x2, … , xn)為 n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量 . 以下僅討論二維隨機(jī)變量及其分布 . ??)(?h?Ω)(?x?定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E的樣本空間 W ={? }, x 和 h 是定義在 W 上的隨機(jī)變量 , 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量?x,h?叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量 . 例 炮彈的彈著點(diǎn)的位置 (x , h ) 就是一個(gè)二維隨機(jī)變量 . 1. 二維隨機(jī)變量 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義 稱為二維隨機(jī)變量 ?x , h? 的分布函數(shù) , 或稱為隨機(jī)變量 x 和 h 的 聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè) (x , h) 是二維隨機(jī)變量 , 二元函數(shù) : },{)}(){(),( yxPyxPyxF ?????? hxhx ?xoy ),( yx?yx ?? hx ,F(x,y)的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落 在如圖所示區(qū)域內(nèi)的概率 對于任意實(shí)數(shù) x, y, x 和 h 的 聯(lián)合分布函數(shù) : },{),( yxPyxF ??? hx記 ),( ????? hx xP),(lim yxPy ??? ??? hx)()( yPyF ?? hh),(lim yxPx ??? ??? hx))( xxF x),(l i m yxFy ????), y???? hx),(l i m yxFx ????的和分別稱為和 hxhx )()( yFxF 邊際分布函數(shù) 則 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (x ,h) 所有可能取的值為 , , 2 , 1 , , } , { j i p y h x x P ij j i … ? ? ? ? , , 2 , 1 , ), , ( j i y x j i … ? . 1 , 0 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? i j ij ij p p 其中 稱為隨機(jī)變量 x 和 h 的 聯(lián)合分布律 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布 二維隨機(jī)變量 ( x, h ) 的聯(lián)合分布也可表示為 , , 2 , 1 , , } , { j i p y h x x P ij j i … ? ? ? ? 例如 ????????????????????ijiiijjjpppxpppxpppxyyy2122221211211121x h2222 },{ pyxP ??? hx ijji pyxP ??? },{ hx解 由題設(shè)