【正文】 第二節(jié) 概率分布 167。 隨機(jī)變量及其分布 1. 隨機(jī)變量 定義 設(shè) x 是從隨機(jī)試驗(yàn) E的樣本空間 W 到實(shí)數(shù)集合 R的一個(gè)映射， Ω??? R?)(?xΩ R?? )(?x ?x這個(gè)定義在 Ω上的單值實(shí)值函數(shù) x(?) 稱為 隨機(jī)變量 , 簡(jiǎn)記為 . x 隨機(jī)變量通常用大寫字母 X,Y,Z或希臘字母 x , z , h 等表示 而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí) ,一般采用小寫字母x, y, z, i, j, k等 . 例 拋擲骰子 , 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 則 x 是一個(gè) , 且有 ).6,5,4,3,2,1(,61}{ ??? iiP x,}{ 點(diǎn)”即為事件“出現(xiàn)事件 ii?x所有可能取的值為 1,2,3,4,5,6 令 x 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) , W = { ?i ： i = 1,2,3,4,5,6｝ 樣本空間 ： 記 ?i = { 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 i } 即 ? i i例 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球 , 觀察摸出球的顏色 . ??????.,0,1白色紅色令??x兩個(gè)值和可取是一個(gè)則 10,. vrx,}1{ 即為事件“摸到紅球”事件 ?x,}0{ 即為事件“摸到白球”事件 ?x例 體檢中測(cè)身高 , 用 X表示被檢者的身高 , 則 X是一個(gè) , 所有可能取的值充滿一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間 )170150( ?? XP 表示身高在 150到 170之間的概率 2. 離散型隨機(jī)變量的分布 如果隨機(jī)變量 x 所能取的一切可能值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè) ， 則稱 x 為 離散型隨機(jī)變量 定義 設(shè) x 為離散型 , ?,3,2,1,)( ??? kxPp kk x稱 為離散型 x 的 概率分布 . xkp… … k x x x 2 1 … … k p p p 2 1 此 概率分布 常用 分布列 表示 ?,3,2,1,)( ??? kxPp kk x離散型 x 的 概率分布 注意 ：因?yàn)?{x ? xk }是樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)必有且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)，而 pk 是對(duì)應(yīng)的概率， 其中 pk (k=1,2, … ) 滿足： （ 1） pk≥ 0 , k = 1,2,… 用這兩條性質(zhì)判斷 一個(gè)函數(shù)是否是 概率分布 （ 2） ∑pk = 1 k xkp… … n x x x 2 1 … … n p p p 2 1 所以 例 編號(hào)為 1,2,3,4,5的禮儀小姐被抽到的概率相同 , 樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為 若最小編號(hào)為 1,則其余 2個(gè)可在 4位中選 , 1035 ?C,624 ?C選取總數(shù)同樣若最小編號(hào)為 2或 3時(shí) , 選取數(shù)為 13 2223 ?? CC 和解 x 所有可能取的值為 1,2,3 101)3(,103)2( ???? xx PP101103106321pxx 的分布列為?106)1( ??xP于是有 隨機(jī)抽出 3人 , 設(shè) x 為抽出的 3人中的最小編號(hào) , 求 x 的分布列 . 例 一盒零件中 9正 3廢 , 任取一 , 若是次品則不放回再取 , 直到取到正品為止 , 求所取到廢品數(shù) x 的分布列 . {x = 0}即為 {第 1次取到正 }, P{x = 0}=9/12=3/4=165/220 {x = 1}即為 {第 1次取次第 2次取到正 }, P{x = 1}= 2204544911941 ???2 2 0910911241)2( ?????xP2 2 0110111241)3( ?????xP解 x 所有可能取的值為 0,1,2,3 22012209220452201653210pxx 的分布列為?例 (習(xí)題 3題 (3)) 常數(shù) C應(yīng)取何值時(shí)才能使下面的實(shí)數(shù)列成為離散型隨機(jī)變量的概率分布列 ? ?,2,1,43 ???????? kCpkk由幾何級(jí)數(shù)的求和公式解?????11kkp由 31?CCCpkk 34311431????????)1|(|2 ?????? qaqaqaqa n ??qa ??? 1 1例：設(shè)離散型 的分布列為 : )1()31(),2521( ????? xxx PPP 和求解 )2()1( ???? xx PP)31( ?? xP)5()2()1( ????? xxx PPP ?? ???)2521( ?? xP)2( ??? xP作業(yè) P163 習(xí)題 2(求分布列 )、 4 (1) 伯努利變量的 兩點(diǎn)分布 常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布 在伯努里試驗(yàn)中， 令 x 表示 A發(fā)生的次數(shù)， 則 x 稱為 伯努利變量 x 可取 0,1兩個(gè)值， ,)(}1{ pAPP ???x ,1)(}0{ qpAPP ?????x則 x 的概率分布為 xkp0p?11p也稱 x 服從 0 1分布 或 兩點(diǎn)分布 . P{x = k} = pkq1k , k = 0,1 分布列為 例 1 “拋硬幣”試驗(yàn) ,觀察正、反兩面情況 . 隨機(jī)變量 x 服從 (0 1) 分布 . xkp0 12121其分布列為 令 x 表示出現(xiàn)正面的次數(shù) 例 2 200件產(chǎn)品中 ,有 190件合格品 ,10件不合格品 ,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件 , 則隨機(jī)變量 x 服從 (0 1)分布 . xkp0 120010200190令 x 表示取得合格品的件數(shù) 其分布列為 兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布 ,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象 , 說(shuō)明 比如產(chǎn)婦產(chǎn)嬰是否有男孩、 明天是否下雨、 種籽是否發(fā)芽等 , 都屬于兩點(diǎn)分布 . (2) 二項(xiàng)分布 設(shè)在 n重伯努里試驗(yàn)中 ,每次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的概率為 p,不發(fā)生的概率為 q (q = 1?p)。 令 x 表示 n 重伯努利試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)， 則 x 是一 , 所有可能取的值為 0, 1, 2, … , n ),2,1,0()( nkqpCkP knkkn ???? ?xpk qn Cn1pqn1 Cn2p2qn2 … Cnkpkqnk … pn ξ 0 1 2 … k … n 稱這樣的分布為 二項(xiàng)分布 .記為 ).,(~ pnBx1)(:0???? ???? nnkknkknkk qpqpCp注例 (習(xí)題 9題 ) 5道選擇題，各有 3個(gè)備選答案，其中只有 1道正確，某生全憑猜想，問(wèn)恰對(duì) 2題的概率 , 全答對(duì)的概率 )31,5(~ Bx243803231)2( 3225 ??????????????? CP x解 每做一道題 ,結(jié)果為“對(duì)”“錯(cuò)”兩種可能， 令 x =“做 5道題答對(duì)的題數(shù)”，則 “5道題全猜對(duì)”的概率 0 43131)5(5??????????xP例 (習(xí)題 32)射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地射擊 3次 ,每次命中率都為 p,求目標(biāo)被擊中的概率 . 解 : ),3(~,3 pBxx 則次獨(dú)立射擊命中的次數(shù)表示令}1{1}1{}{ ????? xx PPP 目標(biāo)被擊中3)1(1}0{1 pP ?????? x例 (習(xí)題 34 )設(shè)某廠生產(chǎn)的儀器以 ， . 需調(diào)試的經(jīng)調(diào)試后以 以出廠， 。 現(xiàn)該廠生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假定每臺(tái)儀器生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立） , 求 (1) 全部能出廠的概率 a (2) 其中恰好有 2件不能出廠的概率 b (3)其中至少有 2件不能出廠的概率 q 解 :先求每臺(tái)儀器能出廠的概率 ”“,”“,”“ 調(diào)試后可出廠可直接出廠可出廠設(shè) ??? CBA)|(,)( ?? BCPBP由題設(shè) CBBA ??則)|()()()( BCPBPBPAP ?? ????設(shè) x 為能出廠的儀器臺(tái)數(shù)，則 x ~ B(n,) 222 )2( ?????? nnnCnP xbnnP )( ??? xa考查 n臺(tái)儀器， )2(1)2( ??????? nPnP xxq)1()(1 1 ??????????? ?nn nnPnP xx例 (習(xí)題 35 )某廠產(chǎn)品 80%按工藝甲加工 , 20%按工藝乙加工 ,2種工藝加工出的產(chǎn)品 ,正品率依次為 ,如果從一大批產(chǎn)品中任取 3只 ,求恰有 2件次品的概率 . 設(shè) B = “任取一只為次品” , A1 = “按工藝甲生產(chǎn)” , A2 = “按工藝乙生產(chǎn)” , 則 A1, A2構(gòu)成完備組，由題設(shè)有 設(shè) x 為任取 3只中的次品數(shù)，則 x ~ B(3,) 0 5 0 5 6 )2( 223 ??? CP x)|(,)|(,)(,)( 2121 ???? ABPABPAPAP)|()()|()()( 2211 ABPAPABPAPBP ?? ?????由全概公式 即該廠產(chǎn)品的次品率為 解 : 先該廠產(chǎn)品的次品率 (3) 幾何分布 記 x 為事件 A首次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù) , 稱 服從幾何分布 設(shè)在一系列貝努里試驗(yàn)中 ,每次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的概率為 p,不發(fā)生的概率為 q (q = 1?p)。 則 x 所有可能取的值為 1, 2, 3, … pk p qp q2p … qk?1p … ξ 1 2 3 … k … ?? ?????? ????? pqpqqpppq kkk 1211 111 ???? qp(4) 泊松分布 則稱 x 服從參數(shù)為 l 的泊松分布 , 值的概率為 而取各個(gè) 設(shè)隨機(jī)變量 ξ所有可能取 的值為 0,1,2,… , 記為 ξ ~ P(l) 在生物學(xué) 、 醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中 , 泊松分布是常見(jiàn)的 . 其中 l ? 0 是常數(shù) ?,2,1,0,!)( ????kkekPk llx 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等 , 都服從泊松分布 . 例 (習(xí)題第 9題 )在原稿中 ,%的頁(yè)數(shù)沒(méi)有錯(cuò)誤 ,設(shè)每頁(yè)中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布 ,求恰有一個(gè)錯(cuò)誤和兩個(gè)以上錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)的百分比 . 解 )(~, lxx P表示一頁(yè)中的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)令由題意 21 3 )0( ????? ? lx leP)1( ??? ? llx eP)2()1()0(1)2(1)2( ??????????? xxxxx PPPPP?,2,1,0,!)( ????kkekPk llx)!21(1 2 ??????? ?? llll ee定理 (泊松 (Poisson)定理 ) 考察 n重伯努利試驗(yàn) , 設(shè)事件 A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 pn=l / n與試驗(yàn)的總次數(shù) n 有關(guān) (其中 l ? 0是常數(shù) ) , 那么 n重次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生 k次的概率 ?,2,1,0,! ??? ?? ??? kekkn ll knnknkn ppCkP ???? )1()( x則 二項(xiàng)分布 的計(jì)算可用 泊松分布 近似 即當(dāng)隨機(jī)變量 ξ ~B(n, p)， 且 n 很大， p很小時(shí)，記 l = np， 實(shí)際使用時(shí) ,只要 n≥ 10, p ≤ 就可以用 ll ?? ?? ekppCkknnknkn !)1( 注射一種血漿 , 有副作用的概率為 , 在 2022名接受注射這種血漿的人中 ,3 人有副作用的概率是多