概率統(tǒng)計(jì)ppt課件(已修改)
2025-05-13 02:28 本頁面
【正文】 1 167。 ? 指數(shù)分布 ? 正態(tài)分布 ? Γ分布 * ? 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 * 前面我們曾經(jīng)討論的均勻分布是最簡單的常用連續(xù)型分布。在這一節(jié)里，將介紹另幾種常用連續(xù)型分布，它們有著廣泛的應(yīng)用背景。 2 指數(shù)分布 ? 定義 : 如果隨機(jī)變量 X的概率密度為 ??????0,00,)(xxexfx??＝其中 ?0,則稱 X服從參數(shù)為 ?的指數(shù)分布 , X ～ Exp(λ). 易知 ,其分布函數(shù)為 )(xfx0?????? ?0,00,1)(xxexFx?＝3 指數(shù)分布的分布函數(shù)推導(dǎo) 當(dāng) x≤0時(shí) , ,0~ ( ) ( 0)0 , 0xexX f xx????? ??????＝0)()( ?? ???x dxxfxF當(dāng) x 0時(shí) , t0t0( ) ( t ) t t|1xxxxF x f d e dee???? ???????? ? ? ???1 , 0()0 , 0xexFxx??? ??? ???＝( ) ( ) 1 ( ) ( 0 ) .xS x P X x F x e x??? ? ? ? ? ?生 存 函 數(shù)4 指數(shù)分布的期望、方差 xx dexdxxedxxxfEX ??? ????? ????? ???????00)(?? ?? ??? ???? ?????? 000 )(1| xdedxexe xxx ?? ?????? 1|10 ?????? xexx dexdxexdxxfxEX ??? ????? ????? ???????020222 )(2002 2...2|??? ????? ? ?? ???? dxxeex xx22222 112)(???????? EXEXDX5 指數(shù)分布應(yīng)用背景 ? 指數(shù)分布經(jīng)常用來作各種“壽命”分布的近似。如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間 , 某些消耗性產(chǎn)品 (電子元件等 )的壽命 , 產(chǎn)品首次發(fā)生故障（需要維修）的時(shí)間都常被假定服從指數(shù)分布。 ? 某產(chǎn)品的壽命 T服從參數(shù)為 λ=布，則該產(chǎn)品的平均壽命 E(T)=??1=()1=500 ? 對(duì)指數(shù)分布 ,任何實(shí)數(shù) a,b(0≤ab), 有 babax eedxebXaP ???? ??? ????? ?)(6 例題與解答 ? 例 1. 某電子元件的壽命 X(年 )服從參數(shù)為 3的指數(shù)分布 .(1)求該電子元件壽命超過 2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了 ，求它還能使用兩年的概率為多少？ ? 解 :由題意可知 , X ~ ?????? ?,0003)( 3xxexf x6233}2{)1( ???? ??? edxeXp x 363. 531. 53{ 3. 5 , 1. 5 }( 2) { 3. 5 | 1. 5 }{ 1. 5 }3xxe dxP X Xp X X ePXe dx???????? ? ? ? ???? 電子元件在已使用 t小時(shí)之后再使用 s小時(shí)的概率 ,與它使用 s小時(shí)的概率是相同的 .稱這樣的隨機(jī)變量具有 “ 無記憶性 ” ,正是指數(shù)分布的重要特點(diǎn) . 7 指數(shù)分布的無后效性 定理 ： 設(shè) X是連續(xù)型非負(fù)隨機(jī)變量，則 X服從指數(shù)分布 P( X s+t | X s )=P( X t ) 的充分必要條件是對(duì)任何的 s,t≥0,有 無后效性是指數(shù)分布的特征 . 8 例題與解答 ? 例 2. 顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間 X服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布 ,X的計(jì)時(shí)單位為分鐘 .若等待時(shí)間超過10分鐘 ,則他就離開 .設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來銀行 5次 ,以 Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù) ,求 Y分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率 P(Y≥1). ? 解 :由題意不難看出 Y~B(5,p) 而其中的概率 p=P(X10)，現(xiàn) X的概率密度函數(shù)為 ???????? ?.0,0。0,51)(5xxexf x因此 , 5 10 5 2101( 10) .5tp P X e dt e e?? ? ? ?? ? ? ? ? ??Y的分布律為 .5,1,0,)1()()( 5225 ????? ??? keeCkYP kkk于是 P(Y≥1)=1P(Y=0)=1(1e 2)5≈.
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