[工學(xué)]概率統(tǒng)計(jì)模型(已修改)
2025-01-31 11:37 本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)建模競賽 167。 1 報(bào)童的訣竅 167。 2 隨機(jī)人口模型 167。 3 牙膏的銷售量 167。 4 健康與疾病 167。 5 鋼琴銷售的存貯策略 第五講 概率統(tǒng)計(jì)模型 確定性因素和隨機(jī)性因素 隨機(jī)因素可以忽略 隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn) 隨機(jī)因素影響必須考慮 概率模型 統(tǒng)計(jì)回歸模型 馬氏鏈模型 隨機(jī)模型 確定性模型 隨機(jī)性模型 問題 報(bào)童售報(bào)： a (零售價(jià) ) b(購進(jìn)價(jià) ) c(退回價(jià) ) 售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 每天購進(jìn)多少份可使收入最大？ 分析 購進(jìn)太多 ?賣不完退回 ?賠錢 購進(jìn)太少 ?不夠銷售 ?賺錢少 應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量 每天需求量是隨機(jī)的 優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入 每天收入是隨機(jī)的 存在一個(gè)合適的購進(jìn)量 等于每天收入的期望 167。 1 報(bào)童的訣竅 建模 ? 設(shè)每天購進(jìn) n 份， 日平均收入為 G(n) 調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律 —— 每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 準(zhǔn)備 ))(()(rncbrnrbarnr?????????賠退回賺售出nbannr )( ???? 賺售出? ????????????nr nrrnfbarfrncbrbanG0 1)()()()])(()[()(求 n 使 G(n) 最大 ? 已知售出一份賺 ab；退回一份賠 bc ? ? ? ??????? n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()(?dndG求解 將 r視為連續(xù)變量 概率密度）()()( rprf ?0?dndGcbbadrrpdrrpnn??????)()(0? ? ?????? n n drrpbadrrpcb 0 )()()()(? ? ???? n drrpbannpba )()()()(? ??? n drrpcbnnpba 0 )()()()(cbbadrrpdrrpnn??????)()(0結(jié)果解釋 ?? ? ?? nn PdrrpPdrrp 20 1 )(,)(n P1 P2 cbbaPP???21取 n使 ab ~售出一份賺的錢 bc ~退回一份賠的錢 ???????? ncbnba )(,)(0 r p 背景 ? 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件 一個(gè)國家或地區(qū) 平均生育率平均死亡率 確定性模型 一個(gè)家族或村落 出生概率死亡概率 隨機(jī)性模型 對象 X(t) ~ 時(shí)刻 t 的人口 , 隨機(jī)變量 . Pn(t) ~概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究 Pn(t)的變化規(guī)律；得到 X(t)的期望和方差 167。 2 隨機(jī)人口模型 若 X(t)=n, 對 t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假設(shè) 1)出生一人的概率與 ?t成正比，記 bn?t 。出生二人及二人以上的概率為 o(?t). 2)死亡一人的概率與 ?t成正比，記 dn?t 。死亡二人及二人以上的概率為 o(?t). 3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。 bn與 n成正比，記 bn=?n , ?~出生概率 ； dn與 n成正比，記 dn=?n， ?~死亡概率 。 進(jìn)一步假設(shè) 模型假設(shè) )()1)(()()()( 1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn????????????? ????建模 為得到 Pn(t)=P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件 X(t +?t)=n的分解 X(t)=n1, ?t內(nèi)出生一人 X(t)=n+1, ?t內(nèi)死亡一人 X(t)=n, ?t內(nèi)沒有出生和死亡 其它 (出生或死亡二人，出生且死亡一人， … …) 概率 Pn(t+?t) Pn1(t) bn1?t Pn+1(t) dn+1?t Pn(t)(1bn?t dn ?t) o(?t) )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn ???? ????~一組遞推微分方程 —— 求解的困難和不必要 ??????00,0,1)0(nnnnP n(t=0時(shí)已知人口為 n0) 轉(zhuǎn)而考察 X(t)的期望和方差 bn=?n， dn=?n
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