工學(xué)偏微模型ppt課件(已修改)
2024-11-15 20:37 本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)建模培訓(xùn) 一階偏微分方程模型 2 偏微分方程的相關(guān)概念 ? 偏微分方程： 一個包含有多元未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式。方程中所含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該方程的 階 。如： 22222 0 , 0u u u ut x x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?等 。 如果方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)是線性的 ， 則稱它是 線性的 ；如果它關(guān)于所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的 ， 則稱它是 擬線性的 。 3 ? 定解問題： 定解條件通常包括 邊界條件 和 初始條件 兩種 。 含有定解條件的方程求解問題稱為 定解問題 ， 包括初值問題 （ Cauchy問題 ） 、 邊值問題和混合問題 。 ? 方程的解： 若函數(shù) u連續(xù)并具有方程所涉及的連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù) ， 且該函數(shù)代入方程使得方程在某區(qū)域內(nèi)成為恒等式 ， 則稱該函數(shù)為方程在該區(qū)域內(nèi)的 解 （ 古典解 ） 。 滿足某些特定條件的解稱為特解 ， 這些條件稱為 定解條件 。 一般情況下 ， 一個具有 n個自變量的 m階方程的解可以含有 m個 n1元任意函數(shù) ， 這樣的解稱為 通解 。 4 一階線性偏微分方程 ? 一階齊次線性偏微分方程 ? ?121( ) , , , 0nini iuF u a x x xx??????(1) 顯然方程有平凡解 u=常數(shù)。一般求其非平凡解。 以下以含有 3個自變量的方程為例，一般形式為 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0u u uP x y z Q x y z R x y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?(2) 5 常微分方程組 ( , , )( , , )( , , )dxP x y zdtdyQ x y zdtdzR x y zdt????????????(3) 稱為方程 (2)的 特征方程組 ，每一條積分曲線 ( ) , ( ) , ( )x t y t z t? ? ?? ? ?稱為方程 (2)的 特征線 。 6 若由特征方程組 (3)推出函數(shù) 恒為常數(shù)，則稱該函數(shù)為方程組 (3)的一個 首次積分 。 ( , , , )x y z t? 若特征方程組 (3)的 3個獨立的首次積分為 ( , , , ) , ( , , , ) , ( , , , )x y z t x y z t x y z t? ? ?則特征方程組 (3)的通解為 123( , , , )( , , , )( , , , )x y z t Cx y z t Cx y z t C????????? ??7 例 1. 求解方程組 121d x d y d zz x y??? ? ?解： 由 12dx dz? 得 12 x z C??，因此得到一個首次 積分為 2 xz? ??再由 2 1 ( 1 )dz dx dy z x y dxz x y dx??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?得 22x z x y C? ? ? ?，因此得到另一個首次積分為 于是原方程的隱式通解為 2x z x y? ? ? ? ?1222x z Cx z x y C????? ? ? ? ???8 由 (3)可得 ( , , )( , , )( , , )( , , )dy Q x y zdx P x y zdz R x y zdx P x y z?????? ???(4) 若 (4)的一個首次積分為 ( , , )x y z?的一個首次積分。 ( , , ) ( , , ) ( , , )dx dy dzP x y z Q x y z R x y z??于是得到方程組 (3)的一個等價形式： ，則它也稱為 (3) 9 對于一階齊次線性偏微分方程 (2)與它的特征方程組 (3)或 (4)，我們有以下結(jié)論： 證明從略。 定理 1： 連續(xù)可微函數(shù) 是 (2)的解的充分必要條件是 是 (4)的首次積分。 ( , , )u x y z??( , , )x y z?定理 2： 如果 是 (4)的兩個獨立的首次積分，則它們的任意連
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