工學(xué)偏微模型ppt課件-wenkub
2022-11-18 20:37:40 本頁面
【正文】 若特征方程組 (3)的 3個獨立的首次積分為 ( , , , ) , ( , , , ) , ( , , , )x y z t x y z t x y z t? ? ?則特征方程組 (3)的通解為 123( , , , )( , , , )( , , , )x y z t Cx y z t Cx y z t C????????? ??7 例 1. 求解方程組 121d x d y d zz x y??? ? ?解： 由 12dx dz? 得 12 x z C??，因此得到一個首次 積分為 2 xz? ??再由 2 1 ( 1 )dz dx dy z x y dxz x y dx??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?得 22x z x y C? ? ? ?，因此得到另一個首次積分為 于是原方程的隱式通解為 2x z x y? ? ? ? ?1222x z Cx z x y C????? ? ? ? ???8 由 (3)可得 ( , , )( , , )( , , )( , , )dy Q x y zdx P x y zdz R x y zdx P x y z?????? ???(4) 若 (4)的一個首次積分為 ( , , )x y z?的一個首次積分。 4 一階線性偏微分方程 ? 一階齊次線性偏微分方程 ? ?121( ) , , , 0nini iuF u a x x xx??????(1) 顯然方程有平凡解 u=常數(shù)。 含有定解條件的方程求解問題稱為 定解問題 ， 包括初值問題 （ Cauchy問題 ） 、 邊值問題和混合問題 。方程中所含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該方程的 階 。如： 22222 0 , 0u u u ut x x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?等 。 ? 方程的解： 若函數(shù) u連續(xù)并具有方程所涉及的連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù) ， 且該函數(shù)代入方程使得方程在某區(qū)域內(nèi)成為恒等式 ， 則稱該函數(shù)為方程在該區(qū)域內(nèi)的 解 （ 古典解 ） 。一般求其非平凡解。 ( , , ) ( , , ) ( , , )dx dy dzP x y z Q x y z R x y z??于是得到方程組 (3)的一個等價形式： ，則它也稱為 (3) 9 對于一階齊次線性偏微分方程 (2)與它的特征方程組 (3)或 (4)，我們有以下結(jié)論： 證明從略。 11 ? 齊次線性偏微分方程的 Cauchy問題 0( , , ) ( , , ) ( , , ) 0: ( , )u u uP x y z Q x y z R x y zx y zx x u f y z? ? ??? ? ??? ? ??? ??? (5) 其中 f 為已知函數(shù)。 15 一階擬線性偏微分方程 ( , , ) ( , , ) ( , , )uua x y u b x y u c x y uxy????(7) 其特征方程組為 ( , , )( , , )( , , )dxa x y udtdyb x y udtduc x y udt????????????(8) 以兩個自變量的方程為例。 設(shè)人口數(shù)量不僅和時間 t 有關(guān) ， 還和年齡 a 有關(guān) 。 (1) 方程 (1) 對應(yīng)的初始條件為 ， 這里p0(a) 表示初始人口分布密度 。 我們來求解 (2)。 28 ? 非線性模型的建立 我們再考慮環(huán)境對人口的影響 。 32 性質(zhì) 1 1 2 1 2[ ] [ ] [ ]F f f F f F f? ? ? ?? ? ?性質(zhì) 2 1 2 1 2[ * ] [ ] [ ]F f f F f F f?性質(zhì) 3 1 2 1 21[ ] [ ] * [ ]2F f f F f F f??性質(zhì) 4 [ ( ) ] [ ] , l i m ( ) 0xF f x i F f f x? ??? ?? 其 中其中定義卷積 1 2 1 2* ( ) ( )f f f x f d? ? ???????性質(zhì) 5 [ ( ) ] [ ]dF ix f x F fd ???33 例 求解定解問題 2(
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