《工學(xué)偏微模型》ppt課件-文庫吧
2024-10-19 20:37 本頁面
【正文】 續(xù)可微函數(shù) 是 (2)的通解。 ( , , ) , ( , , )x y z x y z??( , )u ? ? ??10 例 2. 求解方程 20u u ux y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?解： 特征方程組為 2d y yd x xd z zd x x??????? ????或 首次積分為 2 , x y x z????于是原方程的隱式通解為 2dx dy dzx y z? ? ? ?? ?2 , u x y x z?? ，其中 ? 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。 11 ? 齊次線性偏微分方程的 Cauchy問題 0( , , ) ( , , ) ( , , ) 0: ( , )u u uP x y z Q x y z R x y zx y zx x u f y z? ? ??? ? ??? ? ??? ??? (5) 其中 f 為已知函數(shù)。 例 3. 求解 Cauchy問題 00( , )yyu u uy z x z x yx y zu f x z?? ? ??? ? ??? ? ??? ??12 解： 特征方程組為 首次積分為 2 2 2 2, x y x z??? ? ? ?于是原方程的通解為 d x d y d zyz xz xy??? ?2 2 2 2, u x y x z?? ? ?，其中 ? 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。 將該解代入初始條件，得 ? ?2 2 2 20 , ( , )x y x z f x z? ? ? ? 202 2 2 20 20, , x t yx y t x z sz t y s? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???令 得 13 于是 ? ? 2200, ( , )t s f t y t y s? ? ? ? ? ? ?從而原 Cauchy問題的解為 ? ?2 2 2 22 2 2 2 2 200, ( , )u x y x zf x y y z y y?? ? ?? ? ? ? ? ? ?14 ? 非齊次線性偏微分方程 ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )u u uP x y z Q x y z R x y zx y zf x y z u g x y z? ? ???? ? ??? (6) 其中 f , g為已知函數(shù)。 其特征方程組為 dx dy dz duP Q R fu g? ? ? ?將前面兩個(gè)等式解出后代入最后一個(gè)條件即可求出三個(gè)首次積分，從而得到通解。 15 一階擬線性偏微分方程 ( , , ) ( , , ) ( , , )uua x y u b x y u c x y uxy????(7) 其特征方程組為 ( , , )( , , )( , , )dxa x y udtdyb x y udtduc x y udt????????????(8) 以兩個(gè)自變量的方程為例。 設(shè)其首次積分為 ( , , ) , ( , , )x y u x y u??，則 (7)的隱式 通解為 ? ?, 0 .? ? ? ?16 例 4. 求解方程 ? ?12 uuu x y xy??? ? ? ? ???解： 特征方程組為 首次積分為 2 , 2u y u x y y??? ? ? ? ? ?于是原方程的隱式通解為 121d x d y d uu x y ??? ? ?其中 ? 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。 ? ?2 , 2 0u y u x y y? ? ? ? ? ?17 例 5. 求解 Cauchy問題 10xyuuuxyu ??????????? ??解： 特征方程組為 首次積分為 2, 2y u x u??? ? ? ?于是原方程的隱式通解為 11d x d y d uu ??其中 ? 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。 ? ?2, 2 0y u x u? ? ? ? 將該解代入初始條件，得 ? ?, 2 0yy? ?于是有 22 2 ( )x u y u? ? ?，解得 1 1 2( )u x y? ? ? ?再由初始條件得 Cauchy問題
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