概率及概率分布ppt課件(已修改)
2025-05-24 08:37 本頁(yè)面
【正文】 第三講 概率及概率分布 沈建榮 一、概率定義與計(jì)算 （ 略） 二、 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性 連續(xù)型隨機(jī)變量的描述及特征 ? 設(shè) f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)，則 累積分布函數(shù) 為 ? 連續(xù)型隨機(jī)變量的 期望（均值）、總體中位數(shù) xm ? 連續(xù)型隨機(jī)變量的 方差 ( ) ( ) ( )xF x P X x f t d t??? ? ? ?()X x f x d x? ???? ?2 2 2 2( ) ( ) ( )X X Xx f x d x x f x d x? ? ???? ? ? ?? ? ? ???( ) ( ) 0 . 5mxmF x f x d x?????例 1a （連續(xù)型隨機(jī)變量） ? 某廠加工一種圓孔套件，軸與孔徑的間隙為隨機(jī)變量X(cm），其概率分布密度函數(shù)為： 41 . 2 5 ( 1 ) 0 1() 0 o t h e rxxfx ? ? ? ?? ??若間隙大于 格，問(wèn)該廠加工的廢品率是多少？ 優(yōu)等品（間隙小于 ）的比例是多少？ 求間隙的均值、總體中位數(shù)和方差。 計(jì)算 廢品率： 1 40. 8 0. 8510. 8( 0. 8 ) ( ) 1. 25 ( 1 )1. 25 ( / 5 ) | 0. 08 19P X f x dx x dxxx?? ? ? ?? ? ???面積即為概率 計(jì)算 優(yōu)等品率： 5 0 . 40( 0 .4 ) ( 0 .4 ) 1 .2 5 ( ) | 0 .4 9 7P X F x x? ? ? ? ?面積即為概率 計(jì)算 均值、總體中位數(shù)和方差： 2 6 10( 1 ) ( ) 1 . 2 5 ( / 2 / 6 ) | 0 . 4 1 6 7X x f x d x x x????? ? ? ??2 2 23 7 1 20( 3 ) ( )1. 25 ( / 3 / 7 ) | 0. 41 67 0. 06 45XX x f x dxxx???????? ? ? ??5( 2 ) ( ) ( ) 1 . 2 5 ( / 5 ) 0 . 5 0 . 4 0 2 1mxmmF x f x d x x xx??? ? ? ????例 1b （離散型隨機(jī)變量） ? 某保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)一款一日游健康保險(xiǎn)產(chǎn)品。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品設(shè)計(jì)為：輕傷賠付 500元（平均發(fā)生比例 1%），重傷賠付 10000元（平均發(fā)生比例 %），死亡賠付 202200元（平均發(fā)生比例%）。問(wèn)按照盈虧平衡原則的收費(fèi)最少為多少？ 分析 ? 只需計(jì)算出每一份產(chǎn)品的理賠值即可。因?yàn)樵撟兞繛椴淮_定的隨機(jī)變量，所以應(yīng)該計(jì)算變量的期望值。 ? （產(chǎn)品價(jià)格當(dāng)然還應(yīng)加上產(chǎn)品的銷售、管理等等成本以及合理的利潤(rùn)點(diǎn)，關(guān)于這些方面的問(wèn)題，本例不作探討） 計(jì)算 ? 記理賠值為隨機(jī)變量 X，則 X的概率分配為： X（元） P(X=x) 備注 500 1% 輕傷 10000 % 重傷 202200 % 死亡 0 % 無(wú)事故 續(xù) ()5 0 0 1 % 1 0 0 0 0 0 .1 % 2 0 0 0 0 0 0 .0 1 % 0 9 8 .9 %35iX i ixx p x? ?? ? ? ? ? ? ? ???產(chǎn)品價(jià)格不能低于理賠額，保單價(jià)格應(yīng)為 35元加上管理和銷售成本，再加上合理的利潤(rùn)。 隨機(jī)變量的線性函數(shù) ? 隨機(jī)變量的 線性函數(shù) ? 期望（均值） ? 方差 ()h x Xab????2 2 2()h x Xa???()h x aX b??例 2 ? 某地居民家庭平均年收入為 ，方差為 1。人們習(xí)慣將收入的 25%扣除 500元的保險(xiǎn)后作為儲(chǔ)蓄，問(wèn)該地家庭年均儲(chǔ)蓄為多少？方差多少？ ? 計(jì)算： 0 . 2 5 0 . 0 5 0 . 2 5 0 . 0 5 0 . 6 2S X X? ? ??? ? ? ?2 2 2 5 25S X X? ? ??? ? ?() 122 2 2 2 2 2 212h x X X X ppc c c? ? ? ?? ? ? ?獨(dú)立隨機(jī)變量線性組合的均值與方差 ? 如果 X1,X2,…,X p為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則線性組合 ? 期望 ? 方差 1 2 2() x p ph x c X c X c X? ? ? ?12( ) 1 2 ph x X X p Xc c c? ? ? ?? ? ? ?2 2 22 2 2X Y YX Y YXX? ? ?? ? ???????例 3 ? 在例 1中，設(shè)套件直徑的均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，軸直徑 。標(biāo)準(zhǔn)差為 。求間隙的均值，假設(shè)軸和套的選取是相互獨(dú)立的，求間隙的標(biāo)準(zhǔn)差。 計(jì)算 ? 設(shè)套孔直徑為 X1，軸直徑 X2，則間隙： 120 . 5 0 . 5C X X??1 2 1 20 . 5 0 . 5 0 .5 0 .5 0 .0 5C X X X X? ? ? ??? ? ? ?0 . 5 0 . 51 2 1 22 2 2 20 . 5 0 . 5 0 . 0 1 8X X X XC? ? ? ??? ? ? ?聯(lián)合連續(xù)型隨機(jī)變量 ? 如果隨機(jī)變量 X和 Y的概率可以通過(guò)對(duì)一個(gè)二元函數(shù)的積分得到，則稱 X和 Y是聯(lián)合連續(xù)，這個(gè)二元函數(shù)稱為 X和 Y的 聯(lián)合概率 密度函數(shù)（ joint probability density function） ( , ) ( , )bdacP a X b c Y d f x y d x d y? ? ? ? ? ??邊際概率密度函數(shù) (marginal probability density function) ? 聯(lián)合概率密度函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)變量的全部積分即得到另一個(gè)隨機(jī)變量的 邊際概率 密度函數(shù)
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