第6章概率分布-資料下載頁
2024-10-17 13:08本頁面
【導讀】即不能預先斷定會出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。先已知的，并且不止一個；隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為基本事件。有兩個或兩個以上基。本事件組成的集合稱為復合事件。們在隨機試驗中發(fā)生與否，都帶有隨機性，所以都稱為隨機事件。如果某一事件在每次試驗中一定出現(xiàn)，我們就把它稱為必然事件。概率是對隨機事件在隨機試驗中發(fā)生的可能性大小的一種測定。隨機變量常用大寫字。母X、Y、Z等表示，它們的具體取值常用小寫字母x、y、z來表示。完全可以確定的。律，稱為隨機變量的概率分布。設離散型隨機變量X的可能取值為χk（k=1，2，3，…投擲一顆骰子后出現(xiàn)的點數(shù)是一個離散型隨機變量。能用分布列來描述這類隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。則稱f為連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)。隨機變量的數(shù)學期望也叫均值，一般用E或μ來表示。隨機變量的方差是每一個隨機變量取值與其期望值的離差平方的期望值。
【正文】 返回 正態(tài)分布（舉例） 【 例 】 某電冰箱廠生產(chǎn)某種型號的電冰箱，其電冰箱壓縮機使用壽命服從均值為 10年，標準差為 2年的正態(tài)分布。 （ 1）求整批電冰箱壓縮機的壽命大于 9年的概率 （ 2）求整批電冰箱壓縮機壽介于 9～ 11年的概率 解： X～ N（ 10， 22）， 則（ 1） 正態(tài)分布（舉例） （ 2） 思考： 如果該廠為了提高產(chǎn)品競爭力，提出其電冰箱壓縮機在保險期 限年遇有故障可免費換新，該廠預計免費換新的比重為 1%，請 確定該廠電冰箱壓縮機免費換新的保用年限。 二項分布的正態(tài)逼近 二項分布 B（ n， p），當 n很大， p和 q都不太小時，不能用泊松分布近似計算。理論研究表明，當 n很大，而 0＜ p＜ 1是一個定值時，二項分布的隨機變量近似地服從正態(tài)分布 N（ np， npq）。 對于一個二項隨機變量 X，當 n很大時， X取某一特定值的概率可以用正態(tài)分布近似為 二項分布的正態(tài)逼近（例題分析） 【 例 】 100臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際工作時間占全部工作時間的 8%，求任一時刻有 70臺到 86臺車床在工作的概率。 解：設 X為 100臺車床中工作著的車床臺數(shù)，則， X～ B（ 100， ），現(xiàn)在用正態(tài)分布近似計算， np=80， pq=16 思考： 如何計算任一時刻有 80臺以上車床在工作的概率 返回 χ2（卡方）分布 設隨機變量 X1 ， X2 ， … ， Xn 皆服從 N （ 0 ， 1 ）分布，且相互獨立，則隨機變量 X=∑Xk2 所服從的分布稱為 χ2分布，并記為 X～ χ2 （ n）。其中參數(shù) n稱為自由度，它表示 X=∑Xk2 中獨立隨機變量的個數(shù)。 χ2 （ n）分布的數(shù)學期望和方差分別為： μ=n 和 σ2=2n 返回 t 分布 設隨機變量 X～ N（ 0， 1）， Y～ χ2 （ n） ，且 X ， Y 相互獨立，則隨機變量 的分布稱為自由度為 n 的 t 分布，記為T～ t（ n）。 t分布的數(shù)學期望和方差分別為： μ=0 σ2=n /（ n2） 返回 6—5 大數(shù)定律和中心極限定理 大數(shù)定律 中心極限定理 返回 大數(shù)定律 ——切貝雪夫大數(shù)定律 設隨機變量 X1 ， X2 ， … 相互獨立，且服從同一分布，它們的數(shù)學期望 E（ Xk） =μ，方差 D（ Xk） = σ2（ k=1， … ），則對任意正數(shù) ε，有： 即在試驗次數(shù)無限增多的情況下，算術平均數(shù)與 μ有較大偏差的可能性是很小的。 將該定律用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本平均數(shù)將有接近總體平均數(shù)的趨勢 大數(shù)定律（ 切貝雪夫大數(shù)定律 ） 設 n次獨立試驗中，事件 A發(fā)生的次數(shù)為 m，事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率為 P，則對于任意的正數(shù) ε，有： 即當試驗次數(shù)足夠多時， “ 事件 A發(fā)生的頻率與事件 A的概率之差，就其絕對值來說，可以充分小 ” 的概率趨于 1；也就是說，當試驗次數(shù)很多時，事件 A發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。 將該定律用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本成數(shù)（比率）將有接近總體成數(shù)（比率）的趨勢。 返回 中心極限定理（辛欽中心極限定理） 如果隨機變量 X1 ， X2 ， …Xn相互獨立，且服從同一分布，且有有限的數(shù)學期望 μ和方差 σ2，則隨機變量 X=ΣXk/n ，在 n無限大時，服從參數(shù)為 μ和 σ2/n 的正態(tài)分布，即 n趨于無窮大時， X～ N（ μ， σ2/n） 將該定理用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 不管總體是什么分布，只要其均值和方差存在，當樣本單位數(shù)足夠大（一般要大于 30個）時，樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學期望為 μ，方差為 σ2/n 的正態(tài)分布。 中心極限定理 （ 德莫佛 ——拉普拉斯中心極限定理） 設 μn是 n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，且事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率為 p，則當 n無限大時，頻率 μn/的分布就趨于數(shù)學期望為 p，方差為 pq/n的正態(tài)分布。 將該定理用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 不管總體是什么分布，只要樣本單位數(shù) n足夠大（一般要大于 30個），那么樣本的頻率（成數(shù)）分布就趨于數(shù)學期望為 p，方差為 pq/n的正態(tài)分布。 返回
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