【正文】 22 kkt g t k???? ?????? ?令 則 ? ?2, ( ) 2 2 ( , ) ,jjjn t t n j n Z?? ? ? ?? ?, , jn j n Z? ?構(gòu)成 的規(guī)范正交基 . 2()LR稱定理 為 正交小波函數(shù) , ()t? ? ?, , jn j n Z? ?為 正交小波基 . 下面給出一個多分辨分析的例子 . 例 (Haar小波 ) 取 的閉子空間 為 : 2()LR 0V0fV?2 ( ) ,f L R? 在每一區(qū)間 (n, n+1)上 , f (t)為常數(shù) . 定義 (0,1)區(qū)間上的特征函數(shù)為 ( 0 , 1 )1 , ( 0, 1 ) ,()0, .tt? ????? 其 他記 于是 是閉子空間 ( 0 ,1 )( ) ( ) ,tt??? ? ?() nZtn? ?? 0V的規(guī)范正交基 . 利用定義 可以 ,jV驗證定義 , 于是得到一個 多分辨分析 . 基于多分辨分析框架可以得到了 Mallat分解 與重構(gòu)算法 , Mallat 算法在小波變換中的地位相 當于快速 Fourier變換 (FFT) 在 Fourier 變換中的 地位 . 167。 Mallat分解與重構(gòu)算法 , , , , ( ) ( ) ,j n j n j n j nnnc t d t??????構(gòu)成 的規(guī)范正交基 , 記jV ? ?2, ( ) 2 2 ( , ) .j jjn t t n j n Z?? ? ? ?定理 4 .3 設 是空間 中的一個多? ?j jZV ? 2()LR分辨分析 , 為尺度函數(shù) , 則? ? ?22 2 ( )j jnZt n j Z? ?????????設 是空間 中的一個多分辨分析 , ? ?jjZV ?2()LR? 為尺度函數(shù) . 對任意的 有惟一的級數(shù)表示為 11,jjfV???1 1 , 1 , ( ) ( )j j n j nnf t c t?? ? ?? ?定理 設 是空間 中的一個多? ?j jZV ? 2()LR分辨分析 , 為尺度函數(shù) . 如果存在 使? ? ? ,k kZhZ? ?得 并且2 ,kk h ??? 1 ( ) ,22kkt h t k???? ?????? ?對 定義函數(shù) 為1( 1 ) ,k kkgh??? ()t?1 ( ) ,22kkt g t k???????? ?令 則 ? ?2, ( ) 2 2 ( , ) ,j jjn t t n j n Z?? ? ? ?? ?, , jn j n Z? ?構(gòu)成 的規(guī)范正交基 . 2()LR其中 和 分別由 , ()jn t? , ()jn t? 和 給出 . 從而 , 1 , 1 , , ( ) , ( ) ,j n j l j l j nlZc c t t?????? ?, 1 , 1 , , ( ) , ( ) ,j n j l j l j nlZd c t t?????? ?1 , , , 1 , ( ) , ( )j n j l j l j nlZc c t t?????? ?, , 1 , ( ) , ( ) .j l j l j nlZd t t?? ??? ?經(jīng)過計算可得 Mallat分解算法 2, 1 , , 1 , 2lnj n j llZj n j l lnlZc c hd c g???? ??? ????????和 重構(gòu)算法 1 , , 2 , 2 .j n j l n l j l n ll Z l Zc c h d g? ? ???????其中 和 由 給出 . ? ?k kZh ? ? ?k kZg ? 定理 設 是空間 中的一個多? ?j jZV ? 2()LR分辨分析 , 為尺度函數(shù) . 如果存在 使? ? ? ,k kZhZ? ?得 并且2 ,kk h ??? 1 ( ) ,22 kkt h t k???? ?????? ?對 定義函數(shù) 為1( 1 ) ,k kkgh??? ()t?1 ( ) ,22kkt g t k???????? ?令 則 ? ?2, ( ) 2 2 ( , ) ,j jjn t t n j n Z?? ? ? ?? ?, , jn j n Z? ?構(gòu)成 的規(guī)范正交基 . 2()LR小波變換的概念可以從一維推廣到二維，用 于圖像的小波分解與重建 . 雙正交樣條小波 (Biorthogonals, 簡稱 bior) 在 信號與圖像的分解與重構(gòu)方面有重要的應用 . 這類 小波通過使用兩個雙正交的小波 和 組成小波對， ? ?一個用于分解，另外一個用于重構(gòu) . 用于分析 ?信號 s(x)的小波系數(shù) ,( ) ( ) d ,j k j kc s x x x?? ?? 用于合成信號 ,.j k j kjksc ?? ?階數(shù) Nr和 Nd分別為： Nr=1, Nd=1,3,5。 Nr=2, Nd=2,4,6,8。 Nr=3, Nd=1,3,5,7,9。 Nr=Nd=4。 Nr=6, Nd=8. 過 MATLAB實現(xiàn) . 一個圖像作小波分解后 , 得到一系列不同分辨 率的子圖像 , 不同的子圖像對應不同的頻率 . 高分 辨率也即高頻的子圖像上大部分點的數(shù)值接近零 , 表現(xiàn)圖像的最主要部分是低頻部分 . 所以可以利用 小波分解去掉圖像的高頻部分只保留低頻部分 , 就 可以對圖像進行壓縮 . 利用二維小波變換可以 并通 對圖像進行壓縮首先將一個彩色圖像 ( neug a ), 即一個二維信號保存在 MATLAB 的 w o rk 路徑下 . MATLAB小波工具箱只能處理線性單調(diào)顏色圖的索引圖像 ,即 .mat 格式圖像 , 所以要求將非索引圖像轉(zhuǎn)換為索引圖像 , 然后再處理成灰度級圖像 . Y= im read (39。n euga 39。,39。jp g 39。)。 % 讀入圖像 [ X,ma p ]=rgb 2i nd (Y,25 6) 。 % 轉(zhuǎn)換為索引圖像窗口 Fourier變換 本章內(nèi)容總結(jié) 連續(xù)小波變換 二進小波變換 離散小波變換 線性性質(zhì) 平移性質(zhì) 尺度法則 小波變換 多分辨分析 Mallat分解算法 重構(gòu)算法 本章的重點 3. 多分辨分析 2. 二進小波變換與離散小波變換 1. 連續(xù)小波變換的定義及其性質(zhì) 4. Mallat分解與重構(gòu)算法