【正文】 第四章 小波變換基礎(chǔ) 167。 小波變換的背景 167。 窗口 Fourier變換簡(jiǎn)介 167。 連續(xù)小波變換 167。 二進(jìn)小波變換和離散小波變換 167。 多分辨分析 167。 Mallat分解與重構(gòu)算法 主 要 內(nèi) 容 小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的 新領(lǐng)域 ,它也是一種積分變換 ,是一個(gè)時(shí)間和 頻率的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提 取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù) 或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析 ,解決了 Fourier 變換不能解決的許多困難問(wèn)題 .本章簡(jiǎn)單介紹 小波變換的基本理論和應(yīng)用 . 本章將 Fourier變換記為 ? ( ) ( ) [ ( ) ] ,f F f t???? FR表示實(shí)數(shù) , Z表示整數(shù) , N表示正整數(shù) . ? ?1 ( ) ( ) ( ) dL R f t f t t????? ? ??表示絕對(duì)可積函數(shù)構(gòu)成的空間 , ? ?22 ( ) ( ) ( ) dL R f t f t t????? ? ??表示平方絕對(duì)可積函數(shù)構(gòu)成的空間 , 對(duì) 2, ( ) ,f g L R?, ( ) ( ) df g f t g t t????? ?表示空間 中的內(nèi)積 , 是 的共軛 . 2()LR ()gt ()gt167。 小波變換的背景 自從 1822年 Fourier發(fā)表 《 熱傳導(dǎo)解析理論 》 以來(lái)， Fourier變換一直是在信號(hào)處理等工程應(yīng)用 領(lǐng)域中得到廣泛使用且極其有效的一種分析手段． Fourier變換和逆變換將研究的內(nèi)容從時(shí)域變換到 頻域 , 也就是從一個(gè)空間變換到另一個(gè)空間 , 這種 研究思想和方法是重大的創(chuàng)新 . 如果把 f (t)理解為信號(hào)的描述 , Fourier變換和 逆變換的表達(dá)式 ? ( ) ( ) d , itf f t e t t R?? ?? ??????1 ?( ) ( ) d , 2itf t f e R?? ? ???????說(shuō)明 , 信號(hào)的 Fourier 變換能給出信號(hào)的頻率特性 , 即其頻譜分析 . 由于 Fourier變換和逆變換具有很好 的對(duì)稱性 , 使得信號(hào)的重構(gòu)很容易進(jìn)行 . 特別是后來(lái) 離散 Fourier變換 (DFT)的發(fā)展 , 以及 1965 年提出的 快速 Fourier變換 (FFT)與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合 , 使 得 Fourier變換的應(yīng)用更加廣泛和有效 , 在科學(xué)技 術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮過(guò)重要作用 . 但是 Fourier變換僅適用于確定性的平穩(wěn)信號(hào) . 從定義可以看出 , 為了應(yīng)用 Fourier變換去研究一個(gè) 信號(hào)的頻譜特性 , 必須獲得在整個(gè)時(shí)域 t? ? ? ? ? ?中信號(hào)的全部信息 . 由于 即 Fourier變換 1,ite ?? ?的積分核在任何情形下的模都是 1, 所以信號(hào) f (t)的 頻譜 的任一頻點(diǎn)值都是由 f (t) 在整個(gè)時(shí)間域 ?()f ?上的貢獻(xiàn)決定的 。 反之 , 信號(hào) f (t)在任一時(shí)刻的狀態(tài) 也是由頻譜 在整個(gè)頻域 上的貢獻(xiàn) ?()f ? ?? ? ? ? ? ?決定的 . 所以在時(shí)域中 Fourier變換沒(méi)有任何分辨能 力 , 通過(guò)有限頻段上的 不能獲得信號(hào) f (t)在任何 ?()f ?有限時(shí)間間隔內(nèi)的頻率信息 . 因?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)在某個(gè)時(shí) 刻的一個(gè)小的鄰域中發(fā)生了變化 , 那么整個(gè)頻域都要 受到影響 . 這就是說(shuō) , Fourier變換在時(shí)域沒(méi)有局域特 性 . 同樣地分析可見(jiàn) , 在頻域上 Fourier變換也沒(méi)有局 域特性． 為研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍的頻域特征 , 1946 年 Gabor提出了著名的 Gabor變換 , 之后又進(jìn)一步發(fā) 展為窗口 Fourier變換 , 也稱短時(shí) Fourier變換 (STFT). STFT彌補(bǔ)了 Fourier變換的一些不足 , 已在許多領(lǐng)域 獲得了廣泛的應(yīng)用 . 但是 , 由于 STFT的時(shí) 頻窗口大 小和形狀固定 , 與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)，所以并沒(méi)有很好 地解決時(shí)－頻局部化問(wèn)題 , 這對(duì)于分析時(shí)變信號(hào)來(lái)說(shuō) 是不利的 . 高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間很短 , 而低頻信號(hào) 持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng) , 因此 , 我們期望對(duì)于高頻信號(hào)采用小 時(shí)間窗 , 對(duì)于低頻信號(hào)則采用大時(shí)間窗進(jìn)行分析． 在進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，這種變時(shí)間窗的要求同 STFT 固定時(shí)窗的特性是矛盾的 , STFT無(wú)法滿足 這種需要．此外，在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，人們希望 將基函數(shù)離散化，以節(jié)約計(jì)算時(shí)間及存儲(chǔ)量．但 Gabor基無(wú)論怎樣離散，都不能構(gòu)成一組正交基， 因而給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了不便． 小波變換的思想來(lái)源于伸縮與平移方法 , 在小 波變換的系統(tǒng)理論發(fā)展起來(lái)以前 , 其基本思想已經(jīng) 在許多領(lǐng)域的應(yīng)用中有所體現(xiàn)． 在 1910年 Haar提出的規(guī)范正交基應(yīng)該是小波分 析的最早萌芽 . 1938年 , LittlewoodPaley 對(duì) Fourier 級(jí)數(shù)按二進(jìn)制頻率成分進(jìn)行分組 . 1965年 , Galderon 發(fā)現(xiàn)再生公式 , 它的離散形式已接近小波展開(kāi) . 1981 年， Stormberg對(duì) Haar系進(jìn)行了改進(jìn) , 證明了小波函 數(shù)的存在性．小波概念的真正出現(xiàn)應(yīng)該是在 1984年 , 當(dāng)時(shí)法國(guó)地球物理學(xué)家 Morlet在分析地震數(shù)據(jù)時(shí)提 出將地震波按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮平移系展開(kāi) . 然 后數(shù)學(xué)家 Meyer對(duì) Morlet提出的方法進(jìn)行系統(tǒng)研究 , 并與其他一些人的工作聯(lián)合奠定了小波分析的基礎(chǔ) . 小波變換克服了 Fourier變換和窗口 Fourier變 換的缺點(diǎn) , 在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局域化性 質(zhì) , 被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡” . 1987年 , 法國(guó)數(shù)學(xué)家 Mallat與 Meyer合作 , 將計(jì) 算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入到小波分 析中 ,提出了多分辨分析的概念 , 統(tǒng)一了在此之前的 所有具體正交小波基的構(gòu)造 , 并且提出相應(yīng)的分解 與重構(gòu)快速算法 . 隨后 Mallat將多分辨分析用于圖 象處理 , 取得了巨大成功 . 小波變換是泛函分析、調(diào)和分析和數(shù)值分析 等數(shù)學(xué)分支發(fā)展的綜合結(jié)晶，作為一種數(shù)學(xué)理論 和方法在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域引起了越來(lái)越多的關(guān)注和 重視 . 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究 緊密地結(jié)合在一起的 . 對(duì)于處理性質(zhì)隨時(shí)間穩(wěn)定不 變的信號(hào) , 理想工具仍然是 Fourier分析 . 但是在實(shí) 際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的 , 而特別適用 于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析 . 小波分析的應(yīng) 用領(lǐng)域十分廣泛，包括信號(hào)分析和圖象處理、語(yǔ)音 識(shí)別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷等方面 . 167。 窗口 Fourier變換簡(jiǎn)介 窗口 Fourier變換是在 Fourier 變換的框架內(nèi) , 將非平穩(wěn)過(guò)程看成是一系列短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)的疊加 , 通過(guò)在時(shí)域上加上窗口來(lái)實(shí)現(xiàn)短時(shí)性 . 通常選擇在 有限區(qū)間外