【正文】 的基函數(shù) 關于平移指標 k是標準正 交的； （ 2） 的基函數(shù) 關于尺度指標 j和平移指 標 k是標準正交的； （ 3） 。 （ 4） 是 的標準正交基， f(t)可展開成正交小波級數(shù)： 1 ,j j j j jV W V V W j Z? ? ? ? ?jV ,{ ( ) }jk t?()tn? ?jW ,{ ( ) }jk t?,{ ( )}jk t? 2()LR,( ) ( ) ( ( ) , ( ) )jjj k j kkkj k Zf t t f t tdd???? ? ＝ 證明：如果基函數(shù)平移標準正交，則表明： 0,222( ( ) , ( ) ) ( ( 2 ) , ( 2( ) ) )( ( 2 ) , ( 2 ( 2 ) ) ( ( 2 ) , ( 2 )12k n mnmk m in m n i kn m n iinn n knt t k h t n h t k mh t n h t k m h t n h t ihh? ? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ????11( ( 2 ) , ( 2 ) ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22RRt n t i t n t i d t t n t i d t? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???0 , 21( ( ) , ( ) )2k n n knt t k g g? ? ? ?? ? ? ?()tk? ?同理， 標準正交等價為： （ 1）證明 的基函數(shù) 關于平移指標 k是標準正交的。 因此 是平移正交的； / 2 / 2, 0 ,_______________ _______________20,( ( ) , ( ) ) ( 2 ( 2 ) , 2 ( 2 ) 2 ( ( 2 ) , ( 2 ) )2 ( ( 2 ) ( ( ) ()(2 )jj j j j j j jj j ktxjjkRRt t t t k t t kjt dt x dxxktk? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ??? ?? ???令＝,{ ( )}jk t?jV ,{ ( ) }jk t?(2) 的基函數(shù) 關于尺度指標 j和平移指標 k 是標準正交的； 首先證明 關于平移指標 k是標準正交的。根 據(jù) (1)的結論只要證明 是平移正交的即可。 當 時， 無公共非零元素，二者正交，因 此關于指標 j是標準正交的。 jW )}({ , tkj?,{ ( )}jk t?{ )}tk? ?（22 1 1 211 1 2 2 0 ,m11( ( ) , ( ) ) ( 1 ) ( 1 )221122n n kn n k n n knnmnn n k m m k knt t k g g h hh h h h????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??????? ?jm? jmWW和,{ ( ) }jk t?● 二、正交小波變換 上面圖表反映了兩個事實。上面一條線為函數(shù)的多 尺度逼近，由 表現(xiàn) 的 “ 概貌” ，其時域表現(xiàn)為 。 jV jW ))(),(()()(,ttfttfkjjkkjkjkjcc???? ?))(),(()()(,ttfttwkjjkkjkjkjdd???? ?1?jV1?jWcjkjtf11)(??)(1 tw j ?)( tfjWRL ??)(2? ??jkjkjk ttf d )()( ,???jV 1jV?()jft由于 的正交性，展開系數(shù)為 。隨著 j 尺度的增大， 無論是在時域還是頻域越來越接近 。 下面一條線反應的是多分辨分解。 表現(xiàn) 的 “細節(jié)” ，其時域表現(xiàn)為 ，由于 的正交性，展 開系數(shù)為 。 ,{ ( )}jk t? ,( ( ) , ( ) )j jkk f t tc ??()jftjW 1jV?()jwt ,{ ( )}jk t?,( ( ) , ( ) )jjkk f t td ??()ft 離散小波分解所表現(xiàn)的局部時－頻分析方法 第三章的小波變換具有局部時－頻分析的特點 ，時頻窗具有自適應能力 ， 由 MRA確定的離散小波分解有同樣的效果 。 MRA確定的離散小波分解關系為： 是由 經(jīng)平移縮放而成，都具有時頻局部化能力，具有帶通性質。如果， 是標準正交的，則 表現(xiàn)出小波變換的形式。 ? ?2 jL R W??,( ) ( )jjjkkkZw t td ??? ?,{ ( )}jk t? ()t?,{ ( )}jk t?,( ( ) , ( ) )jjkk f t td ??如果， 不是標準正交的，則 ， 同樣將信號 f限制在 所決定的子頻帶內。 由 MRA所確定的離散小波分解把 分解為若干子頻帶分量 ，通過對 的分析來達到局部時頻分析的目的。 對于不同的尺度 j，這些子頻帶相互不重疊。信號被分解為若干個細節(jié)，局部信號的低頻細節(jié)或高頻細節(jié)都將在不同的小波分量 中得到表現(xiàn) 。 這個局部信號的頻域特征將綜合地、然而又是細致地表現(xiàn)在各個子頻帶中。這個局部信號的時域特征將綜合地、然而又是細致地表現(xiàn)在各個小波分量中 。 ,{ ( ) }jk t? ,( ( ) , ( ) )j jkk f t td ??, ()jk t?()ft()jwt ()jwt()jwt