【正文】 則）不等式，內(nèi)積和向量長(zhǎng)（（ S h w a r zgfgf 00), ?2()LR 1{ ( ) } nkk t? ?0 , 1 , 2 , ,k kn? ??1{ ( )}nkk t? ?1( ) 0k t?? ??n kk=⑻ 基函數(shù) 在有限維空間中 ， 選定有限個(gè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)作為基底向量 ， 空間中任意函數(shù)向量都可以由這些函數(shù) （ 基底 ） 的線性組合來(lái)表示 。如下圖所示，令 顯然， φ (t) 的整數(shù)位移相互之間是正交的，即 這樣，由 φ (t) 的整數(shù)位移 φ (t ? k) 就構(gòu)成了一組正交基。 ) * ( 39。從空間上來(lái)講，低分辨率的空間 V1應(yīng)包含在高分辨率的空間 V0 中，即： ()2t?()t?10VV? ?假定基本采樣間隔為 ， j尺度下的采樣間隔為 ， 在該尺度下劃分的節(jié)點(diǎn)為 ， 采樣值為 ， 為了逼近原函數(shù) ， 選定基函數(shù)為 ，這種基函數(shù)是由同一函數(shù) 經(jīng)過(guò)平移放縮生成 ，如 ， 于是可作出 j尺度下 的近似函數(shù)： 從上式可以看出 實(shí)際上是函數(shù)在該尺度基函數(shù)上的投影 。 生成了 MRA，稱為尺度函數(shù)或 MRA的稱為生成元。 仿照 基的表述形式，有： 此式反映了 和 的傳遞關(guān)系，與 和 的傳遞關(guān)系同形。 1jV? 1, ()jk t? ? , ()jk t?^ ^2/2( ) ( )2,2jjikj ejk ??? ? ?????^ (),jk??*^*2 j???? ^2j ?? ) 11j j jV W V???? 11( ) ( ) ( )j j jf t f t w t????()jft1()jft? 1( ) ( )jjf t f t??1()jwt?jV )( tfj)(,tkj?的頻率范圍1?jV )(1tfj ?)(,1tkj ??2?jV )(2tfj ?)(,2tkj ??1?jW )(1twj ?)(,1tkj ??2?jW)(2twj ?)(,2tkj ?? 總之， MRA所確定的小波子空間分解關(guān)系 表明，任何一個(gè)信號(hào) 的頻率被分隔為若干互不重疊的子頻帶的直和，換句話說(shuō)， 在 MRA框架下分解為若干表示子頻帶的分量 的直和， 的任何局部位置的不同頻帶分量將分別表現(xiàn)在不同的小波子空間中，具有頻域局部化能力 。 當(dāng) 時(shí)， 無(wú)公共非零元素，二者正交，因 此關(guān)于指標(biāo) j是標(biāo)準(zhǔn)正交的。 MRA確定的離散小波分解關(guān)系為： 是由 經(jīng)平移縮放而成，都具有時(shí)頻局部化能力，具有帶通性質(zhì)。 ,{ ( ) }jk t? ,( ( ) , ( ) )j jkk f t td ??, ()jk t?()ft()jwt ()jwt()jwt。 ? ?2 jL R W??,( ) ( )jjjkkkZw t td ??? ?,{ ( )}jk t? ()t?,{ ( )}jk t?,( ( ) , ( ) )jjkk f t td ??如果， 不是標(biāo)準(zhǔn)正交的，則 ， 同樣將信號(hào) f限制在 所決定的子頻帶內(nèi)。上面一條線為函數(shù)的多 尺度逼近，由 表現(xiàn) 的 “ 概貌” ，其時(shí)域表現(xiàn)為 。 ^ ()?? { ( 2 ) }tn? ?()H ? ^ (2 )??^ (2 )??{ ( )}tn? ? ^(2 )??{}nh()G ?^ (2 )??^ (2 )??()G ? {}ng^ (2 )??{ ( )}tn? ?()H ?^ ()??● MRA是構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架 從 MRA的定義可知 ， 只要給定尺度函數(shù) 和雙尺度方程 ， 則 : 的雙尺度關(guān)系是存在的 ，從而在 t?（）( ) ( 2 )nnt h t n?????2( ) ( 2 ) , { }nnnt g t n g l??? ? ??/2,{ ( ) | ( ) 2 ( 2 ) , }jjj j k j kW span t t t k k Z? ? ?? ? ? ?/2,{ ( ) | ( ) 2 ( 2 ) , }jjj j k j kV span t t t k k Z? ? ?? ? ? ? 的描述下 ， MRA確定了小波子空間的直和分解關(guān)系和函數(shù)的小波分解形式 ： 原則上講 ， 只要給定 和 滿足 MRA的要求 ， 只要求出 并滿足下述下列條件： 小波函數(shù)就是存在且能構(gòu)造出來(lái) 。 ● MRA明確了 的級(jí)數(shù)表示形式 從上面的分析可以看出， ，且 之間沒(méi)有非零的公共元素，因此，任意 可以分解為各個(gè)子空間分量 的直和。 2( ) ( 2 ) , { }nnnt h t n h l??? ? ??（雙尺度方程） { ( ) }tk? ?)t?（MRA的含義 ● 生成 MRA 雙尺度方程明確了 V0和 V1之間的傳遞關(guān)系 ，現(xiàn)在推導(dǎo) 和 之間的傳遞關(guān)系 。 逼近的方法包括階梯型函數(shù)逼近 、 梳狀函數(shù)逼近 、折線函數(shù)逼近 、 樣條函數(shù)逼近等 。 2jjjj k j kttkmt t t k t k d tt k t m d t? ? ? ?? ? ?? ??? ? ??? ? ?? ?將 作二倍的擴(kuò)展后得 ，由 作整數(shù)倍位移所產(chǎn)生的函數(shù)組 ()t? ()2t? ()2t?( ) ( )1, 2ttkk ?? ???1 ()ft?1, ()k t? ?t01kc?k當(dāng)然也是兩兩正交的（對(duì)整數(shù) k ），它們也構(gòu)成了一組正交基。 是離散序列。 因此： 1{ ( )}kk t???2()LR},2,1|)({)(2 ??? ktsp a nRL k?)()()()( 21RLtftctfk