小波分析基礎(chǔ)學(xué)習(xí)資料(完整版)
【正文】 交尺度函數(shù) ?(t)。:)1??????????????????????????多分辨空間的關(guān)系可用下圖來形象地說明。 11 ???? jjj WVV與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣 ， 若存在 ?(t)?W0， 使得 {?(tk)}k?Z構(gòu)成空間 W0的一個(gè)規(guī)范正交基 ， 則 構(gòu)成 L2(R)空間的一個(gè)規(guī)范正交基。 此時(shí) ， ?(t)只在有限區(qū)間 [0， N]上取值 ， 所以 ?(t)是緊支的 ， 其支集 supp=[0， N]， ()式變?yōu)椋? ????Nkk ktht0)2()( ??() 此時(shí) ?(t)也是緊支的。 S. Mallat[4]， W. Lawton[6]等都在這方面作出了重大的貢獻(xiàn)，并給出了一些有意義的結(jié)論。 所謂低通是指：當(dāng)信號 f(t)被{hk}k?Z作用后 ， 其低頻成分能被保留下來 ， 而高頻成分 (?=?)卻被濾掉了 。 {?j,k}j,k?Z和 {?j,k}j,k?Z ?分別是兩個(gè)空間的規(guī)范正交基，信號 f(t)?L2(R) 在兩個(gè)空間上都可以做正交投影： ???????????????ZkkjkjWZkkjkjVtttfftttffjj)()(),()()(),(,???? () 信號在小波空間的展開為 ? ??? ??????Zj ZkkjkjZjW tttfftf j )()(),()( , ??() 但實(shí)踐中不可能進(jìn)行無窮次逼近，不妨設(shè) f(t)?VJ，則因?yàn)? )( 1112211JjWWWVWWVWVVJjjjJJJJJJ???????????????????所以 ? ????? ??????????Jjj ZkkjkjZkkjkj tttftttftf )()(),()()(),()( , ????表示從尺度 2J到 2j進(jìn)行了 (Jj)次小波分解(jJ) 實(shí)際計(jì)算時(shí) ， 可以一次一次地進(jìn)行小波分解 ， 然后遞推實(shí)現(xiàn) (Jj)次小波分解 ， 不妨記一次小波分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為 ?????????kjkjkjkjfdfc,??? ?? ??????????nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVV,1,1,11,1, ?????? 來表示：的一組基可由，則由于() )2()22()(21)2()2(22,1,1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj?????????????????????????令??????而 因?yàn)? ? ???? ?????? dtkttktth k )2()()2(),( ????代入 ()式得 故 knnjkj htt 2,1, 21)(),(?? ??? ??)2(21212,1,12, knnhhnknjnnnjknkj ????? ????????? 令???從而 ?????????????nknjnnknjnkjkjchtfhtfc2,12,1,21),(21),( ??我們得到如下的遞推公式： ?????Znknjnkj chc 2,1,21 () 現(xiàn)在來求 dj,k的遞推公式， ? ?? ??????????nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVW,1,1,11,1, ?????? 來表示：的一組基可由，則由于() )2()22()(21)2()2(22,1,1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj?????????????????????????令??????而 因?yàn)? ? ???? ?????? dtkttkttg k )2()()2(),( ????代入 ()式得 )2(21 212,1,12,knnggnknjnnnjknkj??????????????令???故 knnjkj gtt 2,1, 21)(),(?? ??? ??從而 ?????????????nknjnnknjnkjkjcgtfgtfd2,12,1,21),(21),( ??我們得到如下的遞推公式： ?????Znknjnkj cgd 2,1,21 () 通過公式 ()和 ()， 可以很快計(jì)算出尺度系數(shù)和小波系數(shù){cj,k,dj,k}， 這就是著名的 Mallat算法： 因此 ， 只要確定 VJ空間的初始序列 {cJ,k}k?Z， 就可以算出任意空間Vj(jJ)的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù) 。 具體步驟為： ? 圖像信號的小波分解：選擇合適的小波及恰當(dāng)?shù)姆纸鈱哟?N， 對目標(biāo)圖像進(jìn)行 N層的小波分解； ? 對分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化：對于分解的每一層 ， 選擇恰當(dāng)?shù)拈撝?， 對該層高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理； ? 重構(gòu)圖像：根據(jù)小波分解后的第 N層近似的低頻系數(shù)和經(jīng)過閾值量化處理后的 細(xì)節(jié)高頻系數(shù) ， 重構(gòu)圖像 。 又由于 ?Vj+1=Vj?Wj， Vj?Wj，因此 Vj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基與 Wj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基是相互正交的。 也滿足條件 1)()( 22 ??? ??? gg () 另外，由于 {?(tk)}k?Z與 {?(tk)}k?Z分別是 V0空間和 W0空間的規(guī)范正交基，而 V0?W0，則 0)(),( ?? tkt ??0)1()1()()(: ???? ???? ghgh由此可導(dǎo)出 () 公式 ()反映了低通濾波器 h(?)和高通濾波器 g(?)之間的關(guān)系。 定理 [x2] 設(shè) h(?)是 FIR濾波器，若滿足 1)0(1)()( 22????hhh ???? ?1,12)(?02)12)(12(1???????????????????????NjiNhhaAhhNkkijkijNNZkkjj，構(gòu)造矩陣，由定義 ????若矩陣 A的特征值 1是非退化的，則 {?(tk)}k?Z是標(biāo)準(zhǔn)正交的。 由 ()式得： ?????????????????????????????????????????
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