【正文】 抽樣是對輸入序列取其偶數(shù)位 ， 舍棄奇數(shù)位 。 2級 近似 分解 （ 原始信號每 4個平均值 ） 2級 細(xì)節(jié) 分解 （ 原始信號每 2個平均的差值 ） 1級 細(xì)節(jié) 分解 （ 原始信號單數(shù)和雙數(shù)的差值 ） 恢復(fù)信號 補充 1： 一維 Mallat算法 信號分解 函數(shù) —— 離散小波變換 function [cA,cD] = mydwt(x,lpd,hpd,dim) % 對 x進(jìn)行一維離散小波分解 % lpd： 低通濾波器 % hpd： 高通濾波器 % dim：小波分解級數(shù) % cA：平均部分的小波分解系數(shù) % cD：細(xì)節(jié)部分的小波分解系數(shù) cA=x。 補充 1： 一維 Mallat算法 A B C D A+B C+D AB CD L H A 函數(shù) D 函數(shù) 【 例 】 原始信號 1 級 小波近似系數(shù) 1 級 小波細(xì)節(jié)系數(shù) 2級 小波近似系數(shù) 2 級 小波細(xì)節(jié)系數(shù) A B C D ? ? ? ? ? ? ? ? 2062121262288956 22222222 ????????? 由于 Haar是正交變換 ， 除以常數(shù)的目的是使變換后平方和不變 。 離散小波變換 ? 連續(xù)小波變換存在的不足 ① 連續(xù)小波變換中含有很多冗余信息，冗余信息不利于對信號的分析和處理； ② 另外，由于連續(xù)小波變換中有冗余信息，可能對尺度和平移參數(shù)進(jìn)行離散化后仍可重構(gòu)信號； ③ 連續(xù)小波變換的計算量也大。)。 f=3*sin(100*pi*t)+2*sin(68*pi*t)+5*cos(72*pi*t)+randn(1,length(t))。wname39。 連續(xù)小波變換 a是尺度因子。 連續(xù)小波變換 時刻 1 時刻 2 原始信號 二 、 基本步驟 ① 選擇一個小波函數(shù) ， 并將其與要分析的 信號起始點對齊 ； ② 計算在 這一時刻信號與小波函數(shù)的逼近程度 ， 即 計算變換系數(shù) C。 ()t?()ft1. 物理意義： ① 時域上的意義： 數(shù)學(xué)顯微鏡， 一組有效寬度不同的窗口 傅里葉變換的匯集。 1909年 ， 發(fā)現(xiàn)并使用了小波 ， 后來被命名為哈爾小波 (Haar wavelets)。 特性： 指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化； 關(guān)于 0軸反對稱。 Daubechies小波函數(shù)提供了比Haar組更有效的分析和綜合 。 wname = 39。 管中窺豹 略見一斑 引言 引言 什么是小波 ()t dt???? ?? 0什么是小波 ？ 所謂小波 ， 即 小區(qū)域的波 ， 是一種 長度有限 、 均值為零 的波 。 傅里葉變換的實質(zhì) ，是一種全局的變換 ，要么完全在時間域 ，要么完全在頻率域 ，因此無法表述信號的時頻局部性質(zhì) ， 而 時 頻局部性質(zhì) 恰好是非平穩(wěn)信號最基本和最關(guān)鍵的性質(zhì) 。 引言 實質(zhì)： 任何信號在一定程度上均可表示為一些列正弦波之和 。 這些，傅里葉變換都不能完成，需要引入 時 頻 局部化分析。 為了克服上述缺陷 ， 使用 有限寬度基函數(shù)的變換方法 逐步發(fā)展起來了 。 而且由于對高頻成分采用 逐漸精細(xì) 的時域或頻域取樣步長 ， 從而可以聚焦到對象的任何細(xì)節(jié) ， 所以被稱為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。)。 什么是小波 4. Morlet小波 2 0/2() ittt e e ?? ?? 20( ) / 2? ( ) 2 e ??? ? ? ???Morlet小波不存在尺度函數(shù) 。具體定義如下： ? ? ? ?1223 2 4sin 1 2 2 3 33 4 8? 1 2 4 3 3280 ,332 c o sivve?? ? ????? ? ?? ? ? ???????? ? ?? ? ? ??? ??????????????? ????? ?????????? ??? ?????? ? ? ? ? ?4 2 33 5 8 4 7 0 2 0 0 , 1v t t t t t t? ? ? ? ?? ?? ?? ?121222 33 2 42 c os 1 2 2 3 340 3? v???? ? ?? ? ? ????????? ? ? ????? ????? ???????????????t??()?? 什么是小波 8. Shannon小波 ? ? ? ? ? ?? ?s in 1 / 2 s in 2 1 / 21 / 2ttt t??? ?? ? ?? ?? ? /2 1 , 2?0 , ie ? ? ? ??? ? ? ??? ?? 其 它在時域， Shannon小波是 無限次可微的 ，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域， Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。 小波變換： 逆小波變換： 連續(xù)小波變換 ? ? , 1, , ( ) ( )f a b tbW a b f t f t d taa?? ??? ????? ?????2011( ) ( , )ftbf t W a b da dbC a a? ???????????????2? ()Cd? ?? ?????? ? ??其中： 一、什么是連續(xù)小波變換 是 卷積 嗎？ 含義： 類似于用鏡頭觀察信號 。()( ?? attf ? 連續(xù)小波變換 分析高頻成分 分析低頻成分 （ 1） 伸縮 在時間軸上對信號進(jìn)行壓縮和伸展 ， 如圖所示 。 連續(xù)小波變換 b是位移因子。, 39。 其中： XLIM=[x1,x2]， 并且有如下關(guān)系： 1=x1=x2=length(S) 例 2 【 例 】 已知一信號 f(t)＝ 3sin(100?t)＋ 2sin(68?t)＋ 5cos(72?t)， 且該信號混有白噪聲 ， 請對該信號進(jìn)行連續(xù)小波變換 。)。時間 39。 于是 ， 根據(jù) Nyquist采樣定理提出 降采樣 方法 ， 即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)中取一個 ，得到的 離散小波變換的系數(shù) 分別用 cD和 cA表示 。 % 多層小波分解 ca3=appcoef(c,l, 39。 % 高通濾波 dnh=downspl(cvh)。 y(i)=x(2*i)。 信號的分解過程可以迭代 ， 即可進(jìn)行多級分解 。 % 3層小波包分解 fig=plot(t)。 % 顯示 例 3：小波包樹 查看顏色表示的小波包系數(shù) wpviewcf(t,1)。 while (lcd)=(lca) % 若 lcd小于 lca， 則重構(gòu)停止 upl=upspl(cA)。 lcd=length(cD)。type39。 subplot(211)。 % 多層小波分解 ca3=appcoef(c,l,‘db1’,3)。第三層低頻系數(shù) 39。plot(cd2)。)。 title(39。 % 采樣間隔 N=120。 subplot(2,1,2)。l39。 % 補零 g=[g,zeros(1,Nlength(g))]。plot(h)。)。 % 高通 (高頻分量 ) figure(3)。title(39。 subplot(2,2,4)。 % 2插值：升采樣 sig2=dyadup(sig2)。,1)39。重構(gòu)低頻信號 39。plot(abs(fft(sig1)))。)。 在實際的消噪處理過程中 ， 閾值往往可以通過經(jīng)驗公式獲得 。 x=x(1:2022)。sym839。plot(x)。)。 % 子圖維數(shù) load wbarb。 l_zeros=[l,zeros(1,L)]。 % 列變換 row(1:SUB_T,i)=dyaddown(ifft( fft(l_zeros).*fft(f(:,i)39。 end。 subplot(2,1,1)。分解圖像 39。)。 title(39。 例 7：二維圖像 l_re=l_zeros(end:1:1)。 for i=1:T。 % 圓周卷積 FFT end。 for i=1:T。 % 列插值低頻 if (mod(i,2)==0) leftll(:,i)=left_pic(:,t)。 % 圖像右半部分 t=0。 % 圓周卷積 FFT end。)。 mesh(error)。 輸出參數(shù) cA， cH， cV， cD 分別為近似分量 、 水平細(xì)節(jié)分量 、 垂直細(xì)節(jié)分量和對角細(xì)節(jié)分量 MATLAB函數(shù) 2. wavedec2函數(shù) 功能：二維信號的多層小波分解 格式： ? [C,S]=wavedec2(X,N,39。wname39。 圖像融合 圖像融合 所謂圖像融合 ， 是指將同一對象的兩個或更多的圖像合成在一幅圖像中 ， 以便比原圖更能為人們所理解 。 colormap(map1)。 for I =1:256 for j=1:256 if(X2(I, j)100) X2(I, j)=*X2(I, j)。 axis square。)。title(39。image(xx)。 由于圖像經(jīng)二維小波分解后 ， 圖像的輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分 ， 而 細(xì)節(jié)部分則體現(xiàn)子高頻部分 ， 因此 ， 可以通過對低頻分解系數(shù)進(jìn)行增強處理 ， 對。融合圖像 239。)。 c=*c。sym439。 end end end subplot(2,2,2)。woman39。因為在這些場合 ， 同一物體部件的圖像往往是采用不同的成象機理得到的 。 ? X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) 使用指定的重構(gòu)低通和高通濾波器 Lo_R 和 Hi_R 重構(gòu)原信號 X ； ? X=idwt2(cA,cH,cV,cD,39。) 使用小波基函數(shù) ‘ wname’ 對二維信號 X 進(jìn)行 N 層分解； ? [C,S]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通濾波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信號 X 。重構(gòu)誤差 39。 image(abs(construct_pic))。 % 重建全部圖像 例 7：二維圖像 figure(3)。 % 列插值高頻 if (mod(i,2)==0) rightlh(:,i)=right_pic(:,t)。 leftll(:,i)=zeros(T,1)。) )39。 % 圖像下半部分 t=0。 % 偶數(shù)行保持 else t=t+1。,1)39。)。image(abs(rt_pic))。 figure(2)。title(39。 % 分解矩陣 lt_pic=depose_pic(1:SUB_T,1:SUB_T)。 % row(SUB_T+1:T,i)=dyaddown( ifft( fft(h_zeros).*fft(f(:,i)39。db1039。 % 原始圖像 l=wfilters(39。( ) ( ) ( ) 。含噪信號 39。 subplot(311)。heursure39。 在進(jìn)行閾值量化處理中可用 wthresh函數(shù)進(jìn)行 。 ① 強制消噪處理 。重構(gòu)低頻信號頻譜 39。 subplot(2,2,2)。 % 低頻 sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2))。 % 去掉最后一個零 sig2=sig2(1,[1:N])。title(39。)。plot(real(sig1))。plot(abs(fft(g)))。低通 g(n)39。 subplot(2,2,1)。 % 低通 g=wfilters(39。title(39。 y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts)。)。db139。第二層高頻系數(shù) 39。 subplot(222)。 % 提取第 3層高頻 （ 近似 ） 系數(shù) cd2=detcoef(c,l,2)。 title(39。type39。 % y 等于平均部分系數(shù)序列 cA 函數(shù) —— 升采樣 func