小波分析基礎(chǔ)學(xué)習(xí)資料(文件)
【正文】 ,k?Z ?分別是兩個(gè)空間的規(guī)范正交基，信號(hào) f(t)?L2(R) 在兩個(gè)空間上都可以做正交投影： ???????????????ZkkjkjWZkkjkjVtttfftttffjj)()(),()()(),(,???? () 信號(hào)在小波空間的展開為 ? ??? ??????Zj ZkkjkjZjW tttfftf j )()(),()( , ??() 但實(shí)踐中不可能進(jìn)行無窮次逼近，不妨設(shè) f(t)?VJ，則因?yàn)? )( 1112211JjWWWVWWVWVVJjjjJJJJJJ???????????????????所以 ? ????? ??????????Jjj ZkkjkjZkkjkj tttftttftf )()(),()()(),()( , ????表示從尺度 2J到 2j進(jìn)行了 (Jj)次小波分解(jJ) 實(shí)際計(jì)算時(shí) ， 可以一次一次地進(jìn)行小波分解 ， 然后遞推實(shí)現(xiàn) (Jj)次小波分解 ， 不妨記一次小波分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為 ?????????kjkjkjkjfdfc,??? ?? ??????????nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVV,1,1,11,1, ?????? 來表示：的一組基可由，則由于() )2()22()(21)2()2(22,1,1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj?????????????????????????令??????而 因?yàn)? ? ???? ?????? dtkttktth k )2()()2(),( ????代入 ()式得 故 knnjkj htt 2,1, 21)(),(?? ??? ??)2(21212,1,12, knnhhnknjnnnjknkj ????? ????????? 令???從而 ?????????????nknjnnknjnkjkjchtfhtfc2,12,1,21),(21),( ??我們得到如下的遞推公式： ?????Znknjnkj chc 2,1,21 () 現(xiàn)在來求 dj,k的遞推公式， ? ?? ??????????nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVW,1,1,11,1, ?????? 來表示：的一組基可由，則由于() )2()22()(21)2()2(22,1,1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj?????????????????????????令??????而 因?yàn)? ? ???? ?????? dtkttkttg k )2()()2(),( ????代入 ()式得 )2(21 212,1,12,knnggnknjnnnjknkj??????????????令???故 knnjkj gtt 2,1, 21)(),(?? ??? ??從而 ?????????????nknjnnknjnkjkjcgtfgtfd2,12,1,21),(21),( ??我們得到如下的遞推公式： ?????Znknjnkj cgd 2,1,21 () 通過公式 ()和 ()， 可以很快計(jì)算出尺度系數(shù)和小波系數(shù){cj,k,dj,k}， 這就是著名的 Mallat算法： 因此 ， 只要確定 VJ空間的初始序列 {cJ,k}k?Z， 就可以算出任意空間Vj(jJ)的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù) 。另外，小波在諸如信號(hào)去噪、特征提取等多方面均有成功的應(yīng)用。 具體步驟為： ? 圖像信號(hào)的小波分解：選擇合適的小波及恰當(dāng)?shù)姆纸鈱哟?N， 對目標(biāo)圖像進(jìn)行 N層的小波分解； ? 對分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化：對于分解的每一層 ， 選擇恰當(dāng)?shù)拈撝?， 對該層高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理； ? 重構(gòu)圖像：根據(jù)小波分解后的第 N層近似的低頻系數(shù)和經(jīng)過閾值量化處理后的 細(xì)節(jié)高頻系數(shù) ， 重構(gòu)圖像 。小波的各種應(yīng)用均可分為以下三步： 1）對原始信號(hào)作小波變換，將信號(hào)由空域變換到頻域； 2）對小波系數(shù)做相應(yīng)處理； 3）對處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，還原原信號(hào)。 又由于 ?Vj+1=Vj?Wj， Vj?Wj，因此 Vj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基與 Wj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基是相互正交的。 總結(jié)： 在一個(gè) MRA下的正交尺度函數(shù)和小波函數(shù) {?(t),?(t)}t?R，產(chǎn)生一組共軛鏡像濾波器 {h,g}， 滿足： 0)()()()(1)()(1)()(2222??????????????????????ghghgghh() 公式 ()還有幾個(gè)等價(jià)形式，下面以定理的形式給出。 也滿足條件 1)()( 22 ??? ??? gg () 另外，由于 {?(tk)}k?Z與 {?(tk)}k?Z分別是 V0空間和 W0空間的規(guī)范正交基，而 V0?W0，則 0)(),( ?? tkt ??0)1()1()()(: ???? ???? ghgh由此可導(dǎo)出 () 公式 ()反映了低通濾波器 h(?)和高通濾波器 g(?)之間的關(guān)系。 正交尺度函數(shù)產(chǎn)生共軛鏡像濾波器 定義 若尺度函數(shù) ?(t)是正交的 ， 則它所對應(yīng)的濾波器 h(?)稱為共軛鏡像濾波器 。 定理 [x2] 設(shè) h(?)是 FIR濾波器，若滿足 1)0(1)()( 22????hhh ???? ?1,12)(?02)12)(12(1???????????????????????NjiNhhaAhhNkkijkijNNZkkjj，構(gòu)造矩陣，由定義 ????若矩陣 A的特征值 1是非退化的，則 {?(tk)}k?Z是標(biāo)準(zhǔn)正交的。 ()和 () 稱為構(gòu)造正交小波的 必要條件 。 由 ()式得： ????????????????????????????????????????????????????????????????
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