【正文】 替的 “ 波動性 ” ， 也即支流分量為零 。 ??????????????????????? 1,21 121,0 1)(xxt?() 數(shù)學上已經(jīng)證明： 小波級數(shù)、信號的小波逼近 ? ?Zkjktj ?? ,|)2(?構(gòu)成 L2(R)的一個正交基，通過規(guī)范化處理， () ),( )2(2)( 2, Zkjktt jjkj ??? ??構(gòu)成 L2(R)的一個規(guī)范正交基。 ?(t) 應滿足以下三個特性： ? 任何復雜的信號 f(t)， 都能由一個母函數(shù) ?(t) 經(jīng)過伸縮和平移產(chǎn)生的基底的線性組合表示； ? 信號用新的基展開的系數(shù)要能反映出信號在時域上的局部化特性； ? 新的基函數(shù) ?(t) 及其伸縮平移要比三角基 sint更好地匹配非平穩(wěn)信號 。 因此我們需要這樣一個數(shù)學工具：既能在時域很好地刻畫信號的局部性 ，同時也能在頻域反映信號的局部性 ， 這種數(shù)學工具就是 “ 小波 ” 。 但遺憾地是 ， 傅立葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音 ， 在哪一時刻有低音 ， 因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起 ， 如圖所示 。 下面通過例子來說明這兩點。 kk ba 和是函數(shù) f(t)的傅立葉系數(shù)， 可由以下公式計算： ???????1000 )s i nc os(2)(ikk tkbtkaatf ??() 于是，周期函數(shù) f(t) 就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對應，即 從數(shù)學上已經(jīng)證明了 ， 傅立葉級數(shù)的前 N項和是原函數(shù) f(t) 在給定能量下的最佳逼近： ????2,1,0s i n)(22,1,0c o s)(20000??????kt d tktfTbkt d tktfTaTkTk，??() () ? ???),(),(,)( 22110 babaatf ? () 對于 L2(R)上的非周期函數(shù) f(t) ，有 ? ? 0s i nc o s2)(l i m201000 ??????????? ????dxtkbtkaatfT NkkkN??() ? ???? ?? dtetff ti ?? )()(?() 稱 )(? ?f 為 f(t)的傅立葉變換，反變換公式為 ? ????? ?? ? deftf ti)(?)(() 有了傅立葉變換 ， 我們可以很容易地將時域信號 f(t)轉(zhuǎn)換到頻域 上 ， 于是信號的頻率特性一目了然 ， 并且與傅立葉級數(shù)一樣 ， 傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項 ， 這種能量集中性有利于進一步的處理 。 目前 ， 可簡單地將小波理解為滿足以下兩個條件的特殊信號： (1) 小波必須時振蕩的； (2) 小波的振幅只能在一個很短的一段區(qū)間上非零 ， 即是局部化的 。 信號 f(t)經(jīng)傅立葉變換由時域變換到頻域 ， 基底不同得到大變換也不同 。 如圖 1所示的 LENA圖像 f(x,y)，假設圖像的大小是 512x512，量化級是 256，即 511,0 255),(0 ???? yxyxfx y L2(R)空間的正交分解和變換 [1] 對 f(t)?L2(R)， 存在 L2(R) 的一組標準正交基 gi(t)， t ?R，i=1,2,… 使得 其中 ?????1)()(iii tgctf() Zlkdttgtgtgtgdttgtftgtfckllklkiii???????????????????,)()()(),()()()(),(，?() 對于給定信號 f(t)， 關鍵是選擇合適的基 gi(t) ， 使得 f(t)在這組基下的表現(xiàn)呈現(xiàn)出我們需要的特性 ， 但是如果某一個基不滿足要求 ， 可通過變換將函數(shù)轉(zhuǎn)換到另一個基下表示 ， 才能得到我們需要的函數(shù)表示 。 實際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實的場景中經(jīng)過采樣和量化處理后得到的 。 ????? dttf 2)(() 一個信號從數(shù)學的角度來看 ， 它是一個自變量為時間 t的函數(shù) f(t)。一、認識小波 預備知識 從數(shù)學的角度講，小波是構(gòu)造函數(shù)空間正交基的基本單元，是在能量有限空間 L2(R) 上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認識小波需要 L2(R) 空間的基礎知識，特別是內(nèi)積空間中空間分解、函數(shù)變換等的基礎知識。 從信號處理的角度講，小波 (變換 )是強有力的時頻分析 (處理 )工具，是在克服傅立葉變換缺點的基礎上發(fā)展而來的，所以從信號處理的角度認識小波，需要傅立葉變換、傅立葉級數(shù)、濾波器等的基礎知識。 因為信號是能量有限的 ， 即 滿足條件 ()的所有函數(shù)的集合就形成 L2(R) 圖像是二維信號 ， 同樣是能量有限的 。 從數(shù)學上看 ， 圖像是定義在 L2(R2)上的函數(shù) 。 常用的變換 [2]有： (1) KL變換 (2) Walsh變換 (3) 傅立葉變換 (4) 小波變換 如圖所示 是信號 f(t)的傅立葉變換示意圖 。 在信號處理中 ， 有兩類非常重要的變換即傅立葉變換和 小波變換 。 Daubechies小波 一些著名的小波 [3]： Coiflets小波 Symlets小波 Morlet小波 Mexican Hat小波 Meyer小波 SKIP 不是小波的例 RETURN 傅立葉變換與時頻分析 [4] 我們知道，任何復雜的周期信號 f(t)可以用簡單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級數(shù)， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡單的調(diào)和 振蕩函數(shù)，直觀講都是正弦波。 在過去200年里 ， 傅立葉分析在科學與工程領域發(fā)揮了巨大的作用 ，但傅立葉分析也有不足 ， 主要表現(xiàn)在以下兩點： )(? ?f? 傅立葉分析不能刻畫時域信號的局部特性； ? 傅立葉分析對非平穩(wěn)信號的處理效果不好。 例 、 歌聲信號 歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù) ， 其傅立葉變換就是將這個波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜 。 小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點，信號變換到小波域后，小波不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號相對應，如圖所示。 從函數(shù)分解的角度 ， 希望能找到另外一個基函數(shù) ?(t) 來代替 sint。 歷史上 ， Haar第一個找到了這樣一個基函數(shù) ， 這就是非常著名但又及其簡單的 Haar小波 。故任何一個能量有限信號f(t)?L2(R) 可以分解為 () ?? ?????? ??????dtttfttfctct