小波分析全章節(jié)講解-展示頁(yè)
2025-05-08 06:42本頁(yè)面
【正文】 分析時(shí)通常采用時(shí)頻處理方法，它將一維時(shí)域信號(hào)分解為二維時(shí)域 — 頻域聯(lián)合分布表示。 {}ke{}ne0, ( )1,nmmne e m nmn???? ?? ? ?? ??1, nnnf f e e???? ? ??（ 6）框架 設(shè) H為 Hilbert空間， 為 H中的一個(gè)函數(shù)序列，若 ，都存在實(shí)數(shù) A,B使得 則稱為 框架 ，其中 A,B分別稱為框架的上、下界。 ,0xy? ??xy?（ 4）規(guī)范正交基 若內(nèi)積空間 中的基底 滿足 則稱 為 中的 規(guī)范正交基 （標(biāo)準(zhǔn)正交基）。此時(shí)，就稱 為空間 的一組基底。 ()tf a F aa ??? ?????傅里葉變換 (離散 ) 時(shí)域離散信號(hào)也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時(shí)間序列傅里葉變換（ DTFT）和離散傅里葉變換（ DFT）。 信號(hào)在一個(gè)域內(nèi)的伸縮會(huì)導(dǎo)致在 另一個(gè)域的相反方向上的伸縮 。 傅里葉變換 （ 1）傅里葉（ FT）定義 () jtF f t e d t?? ?? ????（ ） =1( ) ( )2jtf t F e d????????? ?其中，式（ ）稱為傅里葉反變換（ IFT) （ ） （ ） 二、傅里葉分析 (連續(xù) ) (2)FT的性質(zhì) 利用對(duì)偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即 F( ) 2 ( )F t f???? 時(shí)域位移將導(dǎo)致信號(hào)頻譜增加一個(gè)附加相位，但是幅頻特性不變，即 ( ) ( ) jaf t a F e ?? ???F 卷積特性分為時(shí)域卷積和頻域卷積，即 1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( )2f t f t F F???? ? ?FF1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )f t f t F F???（內(nèi)積定理） 它表明兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域和頻域中的內(nèi)積之間的關(guān)系，即 **1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( )2f t f t d t F F d? ? ??? ? ? ?? ? ? ????特別當(dāng) 時(shí)，有 ? ? ? ?12f t f t?2 2 211( ) ( ) ( )2f t d t F d F f d f???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? 上式實(shí)際上給出了信號(hào)的能量關(guān)系。 ? 小波理論 是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之一。它將信號(hào)分析從時(shí)間域變換到了頻率域。 在 醫(yī)學(xué)成像方面 的減少 B超、 CT、 核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。 在 信號(hào)分析方面 的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的 理論研究緊密地結(jié)合在一起地。小波理論分析與應(yīng)用 吳祖平 20221689 ??????????????????小波分析窗口傅里葉變換泛函數(shù)分析傅里葉變換傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉分析小波的發(fā)展小波小講??????????????????邊緣檢測(cè)小波去噪圖像壓縮小波的應(yīng)用小波算法多分辨率分析小波變換小波的基本概念 小波分析 是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。 小波變換 的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師 1974年首先提出的，通過(guò)物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要 經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得 到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。 一、小波的發(fā)展 小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括 ： 數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如： 在 數(shù)學(xué)方面 ，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。 在 圖象處理方面 的圖象壓縮、分類、 識(shí)別與診斷，去污等。 ? 傅里葉（ Fourier)分析 是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號(hào)處理的出發(fā)點(diǎn)。 ? 泛函分析 是 20世紀(jì)初開(kāi)始發(fā)展起 來(lái)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它是 以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段， 它用更加抽象的概念來(lái)描述熟知 的對(duì)象。 ? 小波變換 是對(duì)傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的發(fā)展，為信號(hào)分析、圖像處理、量子物理及其他非線性科學(xué)的研究域帶來(lái)革命的影響。在時(shí)域和頻域的總能量是相等的，故也稱為 能量守恒定理 。 在小波分析中，有著大量涉及信號(hào)在時(shí)域和頻域的伸縮和變尺度分析。 ( ) [ ] jnnX x n e????? ? ?? ? ??1[ ] ( )2jnx n X e d?????? ? ?? 21100[ ] [ ] [ ] , 0 , 1 , . . . , 1NN j n knkNNnnX k x n e x n W k N??? ???? ? ? ???2110011[ ] [ ] [ ] , 0 , 1 , . . . , 1NN j n k nkNNnnx n X k e X k W n NNN??????? ? ? ???三、泛函分析 （ 1）線性空間 例： 平方可積函數(shù)空間 （ 2）賦范線性空間 例： ? ?22 ( ) ( ) ( )L R f x f x d x????? ? ??11nkkx ??? ?12221nkkx ??????????1m a x kknx ?? ???（ 3）巴拿赫（ Banach)空間 （ 4）希爾伯特（ Hilbert）空間 例 1：對(duì)于線性空間 ， 定義內(nèi)積為 22( ) , , ( )L R f g L R??*, ( ) ( )f g f x g x dx????? ?? ?例 2：在 n維歐氏空間 中， ， 定義內(nèi)積為 nR,
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