【正文】 波變換的進(jìn)一步分解時同時對己分解出的低頻部分和高頻部分同時進(jìn)行。小波變換后的圖像見圖 。 ( ) ( ) , 1 , 2 , ... .., 2Lx N k x N k k? ? ? ? 小波分析在圖像編碼中的應(yīng)用 圖像的二維小波變換 Mallat 提出的多分辨率塔式分解與合成算法促進(jìn)了小波變換在數(shù)字信號處理中的工程應(yīng)用。但矢量量化編碼運(yùn)算量較大，且對圖像的依賴性較強(qiáng)，使用中有一定的局限性。零樹編碼以后，高頻子帶上大帶的次要系數(shù)只需要網(wǎng)叉樹上少量的節(jié)點(diǎn)就可以表達(dá)。該濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 算法同時也保留了 EZW 的幅度排序和重要比特優(yōu)先等策略。小波編碼壓縮提出以后，人們逐漸意識到正交變換之后小波系數(shù)之間還存在一定的相關(guān)性 和相似性，利用這種相關(guān)性和相似性可以提高圖像壓縮的性能。 綜上，小波變換圖像算法日益成熟，目前只有小波圖像編碼的幾種算法能夠超過 DCT 編碼；而 EZW， SPIHT 由于涉及浮點(diǎn)運(yùn)算，需要較大的緩存，也不在可選之列： SFQ 算法由于需要進(jìn)行多次迭代不適合用于固定碼率的圖像壓縮；剩下的兩種算法 EPWIC 和 EBCOT 比前述算法更有可取之處，比較而言， EBCOT 的壓縮效率更高，可生成嵌入式碼流，支持無損壓縮 [17]。比較好的方法是正則化方法。多尺度邊緣檢測時發(fā)生位移的原因包括兩個方面 :噪聲的影響和相鄰邊緣的干擾。而 Mexican hat 小波更適合于直邊物體的分割 。 (2)Prewitt 和 Sobel 算子。 (6)Canny 算子。當(dāng) ()x? 具有緊支集時，這種光滑具有局部刻畫能力。并進(jìn)一步從包含多個物體對象的 圖像 中識別特殊的對象。利用這些性質(zhì)可區(qū)分噪聲與實際邊緣，以及邊緣的種類。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 邊緣檢測準(zhǔn)則與多尺度邊緣檢測 邊緣檢測準(zhǔn)則與多尺度邊緣檢測 邊緣檢測算法的設(shè)計取決于邊緣的定義。解決這類問題的較普遍的方法是正則化方法。當(dāng)其它邊緣點(diǎn)離 x0 很近時，對 ` 0()hfx的影響很大。因而 (34)式反映了單一尺度下邊緣位移的統(tǒng)計誤差。從屋脊型邊緣的模型來看，真正希望被檢測出來的是屋脊的頂點(diǎn)，但若按照階躍型邊緣的模型定義，實際檢測出來的將是屋脊兩腰的點(diǎn)。前面已經(jīng)說明了建立連續(xù)型邊緣模型的原因。在進(jìn)行邊緣檢測時需記下模極大值及其位置和幅角。 定理 1： 設(shè) f (x, y)為二維圖像， ()x? 為關(guān)于 Y 軸對稱的且具有緊支集的非負(fù)尺度函數(shù)， ,( ) ( )xx??? 為對應(yīng)小波函數(shù)，令 0 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ， 1 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ，2 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ， 3 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ，則以 0( , )W xy 為尺度函數(shù)，以 w1, w2，和w3為基小波的小波變換，對于廣義階躍型邊緣在小波變換后仍然能準(zhǔn)確定位。定義 3 設(shè) (xo, y0)為函數(shù) f (x, y)的極大值點(diǎn)，若存在這樣一個正數(shù) ? ，使得當(dāng) f(x,y)限制在 (x0,y0)點(diǎn)的 ? 一閉鄰域 ? ? ? ?0 0 0 0,U x x y y? ? ? ?? ? ? ? ? ?內(nèi)時，沿梯度方向 f(x0,yo)為 f(x,y)的最大值點(diǎn)，而在任何包含 u 的開 鄰域內(nèi)， (x0,y0)不為 f (x)的最大值點(diǎn)，則稱 U為 f(x,y)關(guān)于點(diǎn) (x0,y0)的極大值區(qū)間。 按照這樣定義的階躍模型還有一個好 處，即有可能將屋脊型邊緣與階躍型邊緣統(tǒng)一起來處理。其中 n 為正整數(shù)。而對于階躍型邊緣的假設(shè)則很值得推敲。首先 (34)式表示的是一種統(tǒng)計誤差，而 并不代表具體點(diǎn)的實際誤差。在假設(shè)邊緣模型為階躍邊緣 時， 即信號 00,( ) ( ) 0,A x xf x A x xx? ???? ? ??，設(shè) ()x? 是方差為 2? 的加性白噪聲， h(x)是方差為 2? 的二階微分濾波器，容易推出邊緣點(diǎn)偏移的方差為 222 ` 200 `20( ( ) ) ( ( ) )hE x x fx??? ? ? ? （ 34） 由于噪聲是未知的，因此，改善邊緣檢測算子在保持邊緣位置方面就取決于二階微分濾波器 h(x)了。“一階導(dǎo)數(shù)極大值”的定義更精確一些 ； 而“二階導(dǎo)數(shù)的零交叉”更容易實施。對于光滑邊緣 (灰度值變化較緩慢 )，當(dāng)小波尺度最小時，該分支系數(shù)并非最大，隨著尺度的逐步增加，該分支系數(shù)將會增加，當(dāng)尺度增加到一定值時又會開始下降。這里 ()x? 為尺度函數(shù) ? ?( ),1 1s x s M? ? ? ?為小波函數(shù)，它們滿足如下方程 : ( ) ( ) , ( ) ( )sk s kkZx c M x k x d M x k? ? ? ??? ? ? ? ? ? （ 33） 其中 c2 稱為濾波系數(shù)， d2 為小波系數(shù)。以 ()x? 為尺度函數(shù)產(chǎn)生的小波 ()x? 正好具有這樣的功能。局部化特性為使用小波變換直接進(jìn)行邊緣檢測提供了可能 。 (4)Laplacian 算子。進(jìn)而 討論 一種根據(jù)局部圖像的特點(diǎn)，求出保持圖像局部邊緣點(diǎn)位 置不變的最大尺度的多尺度自適應(yīng)邊緣檢測方法。 小波分析具有多分辨特性，因而被很多多尺度邊緣檢測方法采用 。一般而言，大尺度平滑因子可以平滑更多的噪聲而失去較多的細(xì)節(jié)，而小尺度平滑因子可以保留較多的細(xì)節(jié)邊緣，但對噪聲的抑制能力減弱。由此引入基于導(dǎo)數(shù)的階躍型邊緣的定義 :即一階導(dǎo)數(shù)的極大值或二階導(dǎo)數(shù)的零交叉。目前己被新的圖像壓縮國際標(biāo)準(zhǔn)JPEG2020 所采用。和傳統(tǒng)的圖像壓縮算法不同， SFQ 算法建立在一個相對簡單的圖像模型之上，認(rèn)為 圖像的特性可以由頻域和時域能量分布的線性組和共同描述，即圖像的能量主要集中在低頻部分，高頻部分只殘存一少部分，但同時圖像的能量又主要集中在邊緣和突變的地方，平坦的區(qū)域相對能量較少。此后，很多學(xué)者對 EZW 算法做了改進(jìn)，又發(fā)展出一些新的算法， SPIHT， SFQ 和 EPWIC是其中具有代表性的幾種算法。 1993 年 Shapiro 在這種結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展了零樹算法。這些算法大多首先利用小波變換將原始圖像分解成若干個子帶圖像，然后再對各個子圖分別進(jìn)行量化，最后根據(jù)某種失真準(zhǔn)則對各子進(jìn)行比特分配和編碼。則基于二進(jìn)離散小波的變換公式可以表示為 122( ) ( 2 ) ( )2NLh Lk Lx n n k x k?? ???? ? ? ?， 122( ) ( 2 ) ( )2NLg Lk Lx n n k x k?? ???? ? ? ? 0,1, , 12Nn ? ????? ? 上面求和公式中， ( 1), , ( )2Lxx? ????? ?和 ( ) , , ( 1)2Lx N x N????? ? ?沒有定義。原因是二維小波基的形式要復(fù)雜一些。設(shè)討論的是多進(jìn)小波，即由尺度函數(shù)生成 M1 個小波函數(shù)，則由該尺度函數(shù)和小波函數(shù)同樣可以生成多分辨分析。這在多尺度邊緣檢測中很有用。由上面的分析知，小波基由小波母函數(shù)經(jīng)平移和伸縮構(gòu)成。 設(shè) ()x? 為基小波，令 ? ?2 ,() :j j kLRW clo s k Z??? 21......k k kV W W??? ? ? （ 220） 則有 1 ,k k kV V W k Z? ? ? ?。這時，可以用雙正交小波。 常用的小波有 Mexican hat 小波 ， Meyer 小波， Morlet 小波，三次 B 樣條小波，Daubechies 小波和 Simoncelli 小波等。并設(shè) , m n m nfd? ? （ 210） 若同時還有重構(gòu)關(guān)系 ,( ) ( )m n m nmnf x d x??? （ 211） 則 ()x? 稱為正交小波。如果函數(shù)族 ? ?, :,mn m n Z? ?是線性獨(dú)立的，則稱 ? ?, :,mn m n Z? ?為正交小波基。 定義 :設(shè)函數(shù) 2( ) ( )x L R? ? 滿足 ： ? ?2? () wRwCdw??? ? ?? （ 22） 則稱 ()x? 為基小波。而在變化較慢的地方需要較寬的窗口。早在 60 年代末 70 年代初工程技術(shù)人員就發(fā)現(xiàn) Fourier 分析在分析信號頻譜時的缺陷 :Fourier分析適合從整個時域 (空域 )上分析信號的頻譜信息，卻不適合分析信號在局部的頻率變化情況，尤其是局部發(fā)生突變的信號。另一方面，不斷地有一些關(guān)于小波的新的應(yīng)用出現(xiàn)。 Morlet 這一根據(jù)經(jīng)驗建立的反演公式當(dāng)時并未得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可，幸運(yùn)的是， Calderon 的發(fā)現(xiàn)和 Hardy 空間原子分解的深入研究，己為小波變換的誕生作了理論上的準(zhǔn)備。解決了 Fourier 分析不能解決的許多問題。通過對含噪模糊圖像處理，可以看出，這種方法對提高含噪模糊圖像的清晰化具有一定的效果。但在大尺度下進(jìn)行邊緣檢測的一個缺點(diǎn)是邊緣位置容易發(fā)生偏移。 本課題 對小波分析在多尺度邊緣檢測、靜止圖像壓縮和數(shù)字 圖像 清晰化 三個方面應(yīng)用的方法進(jìn)行了研究。該算法在獲得良好邊緣的情況下，邊緣定位準(zhǔn)確度高。 Digital image sharpness 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 1 第一章 前言 小波分析 概述 小波分析真正作為一門理論或?qū)W科被研究僅僅是 20 年的事情。小波的概念是由法國的從事石油勘測信號處理的地球物理學(xué)家Morlet 于 1984 年提出的。平面圖像可以看成二維信號，因此，小波分析很 自然地被運(yùn)用到圖像處理領(lǐng)域。 Fourier 變換具有許多重要性質(zhì)，如卷積性質(zhì)和能量守恒性質(zhì)等。函數(shù) 2( 0)axe ?? ? 窗口 Fourier 變換的目的是要在每一點(diǎn) nt ，處開一個窗口以便觀察函 數(shù) f (t)在該點(diǎn)附近的變化情況。類似于 Fourier 分析，小波分析主要 由兩個變換構(gòu)成，即連續(xù)小波變換和離散小波變換。 以建立從小波系數(shù)重建原函數(shù)的數(shù)學(xué)方法。消失矩越大，則基于這樣的小波所對應(yīng)的函數(shù)分解對信號壓縮越有利。 如果小波函數(shù)為對稱的或反對稱的，則對應(yīng)的小波基稱為對稱小波基。 Daubechies 構(gòu)造出的系列小波 {Dn}中，D0(Haar)可用于刻畫不連續(xù)性， D4 可用于檢測一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性， D8 可用于檢測二階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性，等等。即 ： 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 2 1 0 1( ) . . . . . . . .jjZL R W W W W??? ? ? ? ? ? ? （ 217） 在此意義下，對每個 2( ) ( )f x L R? ，都有一個分解 1 0 1( ) .. . ( ) ( ) ( ) .. .f x g x g x g x?? ? ? ? ? （ 218） 其中 , ()jjg x W? ，對所有 jz? 成立。這里著重指 出，多分辨分析的定義，以及小波函數(shù) ()x? 所滿足的上述條件，為構(gòu)造小波函數(shù)提供了一種思路，同時也為小波變換的算法實施提供了一種思路。由基于兩尺度關(guān)系的多分辨分析可導(dǎo)出如下關(guān)系 : 1( 1)nnngh???? 或 12( 1)nn n ngh? ? ??? （ 228） 其中， 2N為尺度向量的支撐區(qū)間的長度。這是的小波變換稱為多進(jìn)小波。既要對低頻部分 進(jìn)一步局部化，同時又對高頻部分進(jìn)一步局部化。 (a)二進(jìn)小波 變換 (b) 3帶小波變換 圖 小波變換圖例 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 小波變換的邊界延拓方法 小波變換是以卷積的形式出現(xiàn)的。對于二維數(shù)字圖像信號，離散小波變換可以通過在水平和垂直方向上分別應(yīng)用 h， g 濾波器進(jìn)行一維濾波來實現(xiàn)： 二 維離 散 小波變換的 Mallat 實現(xiàn)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 如圖 所示： a 二維離散小波分析 圖 二維離散小波變換的實現(xiàn) 二維離散小波變換每次分解產(chǎn)生一個低頻子圖 LL 和三個高頻子圖，即水平子圖 LH、垂直子圖 HL 和對角子圖 HH，下一級小波變換是在前級產(chǎn)牛的低頻子圖LL 的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，依次重復(fù)，可完成圖像的 N 級小波分解，得到圖像的 N 級分辨率，其中 N1 級對應(yīng)效果最 差 的分辨級， 0 級時 對 應(yīng)效果做好的分辨級。目前，小波圖像壓縮算法主要有以下幾種： EZW， SPIHT， SFQ， EPWIC， EBCOTI。零樹編碼的順序是從低頻到高頻掃描每一個系數(shù)，重要的系數(shù)始終在前而，形成嵌入式碼流。和 EZW 一樣， SPIHT算法也采用了標(biāo)量量化方法。 EZW 算法利用了不同分解級上小波系數(shù)分布的相似性。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 第三章 小波分析的多尺度邊緣檢測 小波分析的多尺度邊緣檢測 邊緣檢測是低級視覺中要解決的關(guān)鍵問題