【正文】 ltiresolution Analysis， 簡稱 MAR） . MRA是指一系列嵌套式子空間逼進序列 ，滿足如下要求： 1） 2） 221 ( ) { 0 } , ( )j j j jj Z j ZV V L R V V L R???? ? ? ? ? ?/2,{ ( ) | ( ) 2 ( 2 ) , }jjj j k j kV span t t t k k Z? ? ?? ? ? ?{}j j zV ?3） 4） 是 Riesz基。 二者比較 : 差別一 : 紅色顯示部分； 差別二：后者強調雙尺度方程。 ● MRA確定了 的子空間直和分解關系 t?（）/ 2 / 2,01 / 2 ( 1 ) / 2 1 1 / 21,( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 * 2 )2 2 ( 2 ) 2 ( )j j j jjnnjjn n j nnnt t h t nh t n h t? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ????10VV? ? 1 0 1/W V V??? 0 1 1V W V???? 2()LRjV 1jV?按照前面的分析，畢竟 不等于 ，也即 比 對 f(t) 近似的好，但二者之間肯定有誤差。 0 ()ft1 ()ft? 1()wt?1 2 3 41 2 3 41 2 3 41V?0V()tk? ?( / 2 )tk? ?設有一基本函數(shù) ()t? t0( ) ( 2 ) ( 2 1 )t t t? ? ?? ? ?細節(jié) 屬于子空間 ,由基函數(shù) 張成。上式也表明了 的傳遞關系 01VV? ()t?2}{),2()( lhnthtnnn? ??? ??01WV? { ( )}tk? ?1V2}{),2()( lgntgtnnn? ??? ??（雙尺度方程） ()t? 01WV?1VjW由于 是 Riesz基， ， 是 的 Riesz 基。 { ( )}tn? ? 2{}ngl? { ( )}tk? ? 0W1jjVV?和/2,{ ( ) | ( ) 2 ( 2 ) , }jjj j k j kW span t t t k k Z? ? ?? ? ? ?/ 2 / 2,01 / 2 ( 1 ) / 2 1 1 / 21,( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 * 2 )2 2 ( 2 ) 2 ( )j j j jjnnjjn n j nnnt t g t ng t n g t? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ????0W 1VjW 1jV? 為線性子空間 ，它的基函數(shù)為 ，這樣 中的函數(shù) 可表示為： 稱為小波基， 稱為小波分量， 稱為小波子空間。 jW ,{ ( )}jk t?jW ()jwt ,( ) ( )jjjkkkZw t td ??? ?,{ ( )}jk t? ()jwt jW2( ) ( )f t L R?? ?2 jL R W?? jW2( ) ( )f t L R?()j jw t W?2,( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj jkkj j k Zf t w t t f t L Rd ??? ? ? ??? 實際上，已經(jīng)看出了兩條途徑，一條為基于子空間序列 逼近途徑 ；一條是基于正交子空間序列 的系列分量 。 子空間的 可以看成是有限頻寬信號 ， 從 看出 ， 其頻率范圍是由 決定的 （ 實際上是指標 j決定 ， k只起平移作用 ， 不影響頻率范圍 ） 。 2 ,( ) { ( ) | , }jkL R span t j k Z???{}jV { ( )}jft{}jW ()j jw t W?jV ()jft,( ) ( )jjjkkkZf t tc ??? ? , ()jk t?, ()jk t? ()jft 空間的 的頻寬只有 的一半， （ 的頻窗中心為： ,頻窗半徑為： 再由 可知， ， 分為了兩部分：一部分是一半頻寬的低頻部分，由 表示；另一部分是關于 的相對高頻部分，由 表現(xiàn)，為 帶通函數(shù) 。 2 () jL R W?? 2( ) ( )f t L R?()ft()jwt ()ft● MRA所確定的數(shù)字濾波器 以上二式反映了 到 ， 到 之間的傳遞關系； 2}{),2()( lhnthtnnn? ??? ??2}{),2()( lgntgtnnn? ??? ??1 / 2, 0 1 ,( ) 2 ( )j n j nnt h t?? ? ?? ?1 / 2, 0 1 ,( ) 2 ( )j n j nnt g t?? ? ?? ?以上二式反映了 到 ， 到 之間的傳遞關系； 0V 1V 0W 1VjV 1jV? 1jV?jW再對前面二式進行頻域處理： ^( 2 ) ( )2 2 2 2^()2 2 2( ) ( ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( )22( ) ( )2 2 2i t i tnRRi t n i n i x i nnnRRi n i x i nnnRt e dt h t n e dthht n e e d t n x e e dxhhe x e dx e??? ? ? ?? ? ?? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??????