小波分析基礎(chǔ)ppt課件-在線瀏覽
2025-06-29 07:55本頁面
【正文】 換到頻域，基底不同得到大變換也不同。目前，可簡單地將小波理解為滿足以下兩個條件的特殊信號：(1) 小波必須時振蕩的；(2) 小波的振幅只能在一個很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。ofandScience,UniversityofandScience,UniversityofandScience,University MexicanofandScience,UniversityofandScience,UniversityofandScience,University是 函數(shù) f(t)的 傅立葉系數(shù)，可由 以下公式計算：()CollegeMathematicsComputerHebei于是，周期函數(shù) f(t)在 給定能量下的最佳逼近：()()()CollegeMathematicsComputerHebei對于 L2(R)上的非周期函數(shù) f(t)ofandScience,University上，于是信號的頻率特性一目了然，并且與傅立葉級數(shù)一樣，傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項，這種能量集中性有利于進一步的處理。傅立葉分析不能刻畫時域信號的局部特性；q下面通過兩個例子來說明這兩點。ofandScience,University但遺憾地是，傅立葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音，在哪一時刻有低音，因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起，如圖所示。ofandScience,UniversityCollegeMathematicsComputerHebei例 信號逼近：如圖 (a)和 (b)是原始信號，其余的是逼近信號。ofandScience,UniversityofandScience,University從函數(shù)分解的角度，希望能找到另外一個基函數(shù) ?(t) ?(t)任何復(fù)雜的信號 f(t)， 都能由一個母函數(shù) ?(t)信號用新的基展開的系數(shù)要能反映出信號在時域上的局部化特性；q及其伸縮平移要比三角基 sint更好地匹配非平穩(wěn)信號。()CollegeMathematicsComputerHebei數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明：小波級數(shù)、信號的小波逼近構(gòu)成 L2(R)的 一個正交基，通過規(guī)范化處理，()構(gòu)成 L2(R)的 一個規(guī)范正交基。ofandScience,University[1]函數(shù) ?(t)?L2(R)ofandScience,UniversityofandScience,University它有兩個特點：一是 “ 小 ” ，即在時域具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的 “ 波動性 ” ，也即支流分量為零。和尺度伸縮得來的。ofandScience,University而且由于對高頻成分采用逐漸精細(xì)的時域或頻域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任何細(xì)節(jié)，所以被稱為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。 ofandScience,University(t)， b由此可見，小波變換有以下特點：216。多尺度 /多分辨的特點，可以由粗及細(xì)地處理信號；216?？梢钥闯捎没绢l率特性為 ?(ω)的帶通濾波器在不同尺度 a下對信號做濾波。CollegeMathematicsComputerHebei小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。尺度伸縮對波形的尺度伸縮就是在時間軸上對信號進行壓縮和伸展，如圖所示。ofandScience,UniversityofandScience,University時間平移時間平移就是指小波函數(shù)在時間軸上的波形平行移動，如圖所示。ofandScience,University選擇一個小波函數(shù)，并將這個小波與要分析的信號起始點對齊；(2)CollegeMathematicsComputerHebei(3)ofandScience,University將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復(fù)步驟 (1)、 (2)、 (3)，如圖所示；(5)CollegeMathematicsComputerHebeiv?壓縮的小波 ?快速變換的細(xì)節(jié) ?高頻部分216。大尺度 aofandScience,University 現(xiàn)構(gòu)造一個具有特定性質(zhì)的層層嵌套的閉子空間序列 {Vj}j?Z，這個 閉子空間序列充滿了整個 L2(R)空間。 在 V0子空間找一個函數(shù) g(t)， 其平移 {g(tk)}k ?Z構(gòu)成 V0子空間的Riesz基。對函數(shù) g(t)進行正交化，得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù) ?(t)。由 ?(t)計算出小波函數(shù) ?(t)。ofandScience,University令 H是 Hilbert空間， H中的一個序列 {gj}j?Z是 Riesz基，如果它滿足以下的條件：A和 B分別稱為 Riesz基的 上下界， Riesz基又 稱為穩(wěn)定基。ofandScience,University空間 L2(R )中的多分辨分析是指 L2(R )中的滿足如下條件的一個子空間序列 ofandScience,UniversityCollegeMathematicsComputerHebei如果 {g(tk)}k?Z是 V0的 Riesz基，可通過正交化得到 V0空間的函數(shù) ?(t)?V0， 使得 {?(tk)}k?Z由伸縮性和平移不變性可知， 于是()()CollegeMathematicsComputerHebei注意： 由 MRA的單調(diào)性可以看出： ofandScience,University對于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來表示。ofandScience,University可理解為 Vj空間中的圖像有一部分保留在 Vj1空間中，還有一部分放在 Wj1空間， 如圖所示如圖所示 。 稱為小波基， ?(t)稱為母小波。ofandScience,UniversityofandScience,University在實踐中很難通過小波空間直接構(gòu)造小波，但通過 MRA可推導(dǎo)出一個非常重要的關(guān)系：雙尺度方程，通過求解該方程，使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù)。ofandScience,University由 ?(t)ofandScience,University對應(yīng)的高同濾波器， {h， g}既可以表示為時域上的離散
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