小波分析課件適用于初學(xué)者-在線瀏覽
2025-06-29 23:52本頁(yè)面
【正文】 2, Zkjktt jjkj ??? ??構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)規(guī)范正交基。 它有兩個(gè)特點(diǎn)：一是 “ 小 ” ， 即在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的 “ 波動(dòng)性 ” ， 也即支流分量為零 。 ZkjkttttfkjfDWjjkjkj??????,)2(2)()(),(),)((2,，????() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是 ， 它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì) 。 小波分析廣泛應(yīng)用與信號(hào)處理 、 圖像處理 、 語(yǔ)音識(shí)別等領(lǐng)域 。b 相當(dāng)于使鏡頭相對(duì)于目標(biāo)平行移動(dòng)， a的所用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。 ? 適當(dāng)?shù)剡x擇小波，使 ψ(t)在時(shí)域上為有限支撐 ,?(ω)在頻域上也比較集中，就可以使 WT在時(shí)、頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。 ? 尺度伸縮 對(duì)波形的尺度伸縮就是在時(shí)間軸上對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和伸展，如圖所示。s in ()( ?? attf21)。4s in ()( ?? attfCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University 21)。4()( ?? attf ?1)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波運(yùn)算的基本步驟： (1) 選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始點(diǎn)對(duì)齊； (2) 計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù) C， C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 尺度與頻率的關(guān)系 尺度與頻率的關(guān)系如下： ? 小尺度 a ?壓縮的小波 ?快速變換的細(xì)節(jié) ?高頻部分 ? 大尺度 a ?拉伸的小波 ?緩慢變換的粗部 ?低頻部分 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 三、多分辨分析 由母小波按如下方式的伸縮平移可構(gòu)成 L2(R)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基 如何構(gòu)造母小波呢 ？ 1989年 ， Mallat和 Meyer提出了按多分辨分析的思想來(lái)構(gòu)造母小波 ， 其基本思想是： ? 現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的層層嵌套的閉子空間序列 {Vj}j?Z，這個(gè) 閉子空間序列充滿了整個(gè) L2(R)空間 。 ? 對(duì)函數(shù) g(t)進(jìn)行正交化 ， 得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù) ?(t)。 多分辨分析 (MRA)的概念 [5] RtZkjktt jjkj ???? ， ,)2(2)( 2, ?? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Riesz基 定義 令 H是 Hilbert空間， H中的一個(gè)序列 {gj}j?Z是 Riesz基，如果它滿足以下的條件： A和 B分別稱為 Riesz基的上下界， Riesz基又稱為穩(wěn)定基。的構(gòu)成使得存在函數(shù)平移不變性伸縮性逼近性單調(diào)性R i e s zVktgVtgZkVktfVtfVtfVtfRLVVVVVZkjjjjZjjZjj0012101)(,)()5。)2()(:)3)。:)1??????????????????????????College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 多分辨空間的關(guān)系可用下圖來(lái)形象地說(shuō)明。由伸縮性和平移不變性可知， {?j,k(t)}j,k?Z構(gòu)成 Vj空間的一個(gè)規(guī)范正交基。 由 MRA的單調(diào)性可以看出： Vj是 Vj+1的嚴(yán)格子空間 ， 設(shè) Wj是 Vj關(guān)于 Vj+1的正交補(bǔ) (子空間 )， 即 ? ?? ?ljljjjjjjjjjjjjjjjjjWVWWWVWWVVWVWVVWVV??????????????????????????112211111:于是顯然，且即滿足???() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對(duì)于一幅圖像，量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。 我們可以將不同的量化級(jí)數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間 Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的， ? ? 列，稱為小波空間。 11 ???? jjj WVV與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣 ， 若存在 ?(t)?W0， 使得 {?(tk)}k?Z構(gòu)成空間 W0的一個(gè)規(guī)范正交基 ， 則 構(gòu)成 L2(R)空間的一個(gè)規(guī)范正交基。 ? ? Zkjkj t ?, )(?)2(2)( 2, ktt jjkj ?? ??() SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Vj Wj1 Vj1 RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University MRA非常抽象 ， 但是它給出了構(gòu)造小波的一般框架 。 雙尺度方程 由前面的分析 ， 我們知道： 1010)()(WWtVVt??????? ?????????kkkk1k)( 2 tg( t) k)( 2 th( t) :)2()()(??????? 線性表示空間的一個(gè)基都可以用和所以ZkktVtt() ()College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 方程 ()和 ()稱為雙尺度方程。兩者本質(zhì)上是一樣的 。 此時(shí) ， ?(t)只在有限區(qū)間 [0， N]上取值 ， 所以 ?(t)是緊支的 ， 其支集 supp=[0， N]， ()式變?yōu)椋? ????Nkk ktht0)2()( ??() 此時(shí) ?(t)也是緊支的。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 由 ()式得： ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnjjhhhhhhh2?28?8424?422?2)(?1??????????????????() 1)0()0(?)0()0(?)0(?2)(?20)0(?)(?11??????????????????????hhhhjjnjj推得且由是收斂的，即，則是連續(xù)的，且若??????????() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 結(jié)論： 只要找到滿足雙尺度方程 ()的序列 {hk}k?Z，通過(guò)公式()就可以計(jì)算出 2?周期函數(shù) h (?)，再由公式 ()就可以計(jì)算出 ，經(jīng)過(guò)傅立葉反變換，最終可得尺度函數(shù) ?(t)，有了尺度函數(shù)就可以計(jì)算出小波函數(shù) ?(t) 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 解決問題 2卻是一件非常困難的事情 。 ()和 () 稱為構(gòu)造正交小波的 必要條件 。 S.
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