【正文】 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 又由于 ?Vj+1=Vj?Wj， Vj?Wj，因此 Vj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基與 Wj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基是相互正交的。 定理 [x2] 設(shè) h(?)是 FIR濾波器，若滿足 1)0(1)()( 22????hhh ???? ?1,12)(?02)12)(12(1???????????????????????NjiNhhaAhhNkkijkijNNZkkjj，構(gòu)造矩陣，由定義 ????若矩陣 A的特征值 1是非退化的，則 {?(tk)}k?Z是標(biāo)準(zhǔn)正交的。 ? ? Zkjkj t ?, )(?)2(2)( 2, ktt jjkj ?? ??() SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Vj Wj1 Vj1 RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University MRA非常抽象 ， 但是它給出了構(gòu)造小波的一般框架 。 多分辨分析 (MRA)的概念 [5] RtZkjktt jjkj ???? ， ,)2(2)( 2, ?? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Riesz基 定義 令 H是 Hilbert空間， H中的一個(gè)序列 {gj}j?Z是 Riesz基，如果它滿足以下的條件： A和 B分別稱為 Riesz基的上下界， Riesz基又稱為穩(wěn)定基。 ? 適當(dāng)?shù)剡x擇小波，使 ψ(t)在時(shí)域上為有限支撐 ,?(ω)在頻域上也比較集中，就可以使 WT在時(shí)、頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點(diǎn)，信號(hào)變換到小波域后，小波不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號(hào)相對(duì)應(yīng)，如圖所示。 從信號(hào)處理的角度講，小波 (變換 )是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析 (處理 )工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，所以從信號(hào)處理的角度認(rèn)識(shí)小波，需要傅立葉變換、傅立葉級(jí)數(shù)、濾波器等的基礎(chǔ)知識(shí)。 下面通過兩個(gè)例子來說明這兩點(diǎn)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 可以這樣理解小波變換的含義：打個(gè)比喻，我們用鏡頭觀察目標(biāo)信號(hào) f (t)， ψ(t)代表鏡頭所起的所用。 ? 在 V0子空間找一個(gè)函數(shù) g(t)， 其平移 {g(tk)}k ?Z構(gòu)成 V0子空間的Riesz基 。是相互正交的子空間序故，所以，而由于顯然ZjjjjjjjjjlljjWWWWVVVWWVRL???????????????????1112lim)( () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 從圖像處理的角度 ， 多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解 ，假設(shè)有一幅 256級(jí)量化的圖像 ， 不妨將它看成量化空間 Vj中的圖像 ， 則 可理解為 Vj空間中的圖像有一部分保留在 Vj1空間中 ， 還有一部分放在 Wj1空間 ， 如圖所示 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 僅有必要條件是不夠的，即 {hk}k?Z除了滿足條件 ()和 () 外，還應(yīng)滿足其他條件。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 定理 設(shè) {h,g}是由正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生的共軛鏡像濾波器，則以下幾個(gè)條件等價(jià)： ? 在頻域上 ()式成立； ? 在時(shí)域上以下公式成立： ?????????????ZjkjjZjkkjjZjkkjjghZkgghh0 2220,20,2??() ? 定義調(diào)制矩陣： ???????????)()()()()(???????gghhm() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 則 Rmm T ??? ??? ，1)()(() 利用共軛鏡像濾波器實(shí)現(xiàn)快速正交小波變換 [4] L2(R) 空間的一個(gè) MRA產(chǎn)生了兩個(gè)子空間：尺度空間 {Vj}j?Z和小波空間 {Wj}j?Z。下面以圖象去噪為例說明小波應(yīng)用策略。 實(shí)際上 ， {?(t),?(t)}t?R 大量的性質(zhì) 都可以由 對(duì)應(yīng)的{h(?),g(?)}??R從頻域上反映出來 ， 甚至離散小波變換都可以借助濾波器來實(shí)現(xiàn) ， 因此小波與濾波器具有緊密的關(guān)系 。由 ?(t) 的正交性可得： 對(duì)雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的的雙尺度方程： ZkkttgZkktthkk??????，)2(),()2(),(???? () () ??????????????????????????2?2)(?2?2)(???????????gh() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ??????kikkkikkeggehh????21)( 21)( :其中() () 從信號(hào)處理的角度 ， h是與 ?(t)對(duì)應(yīng)的低通濾波器 ， g是與 ?(t) 對(duì)應(yīng)的高同濾波器 ， {h， g}既可以表示為時(shí)域上的離散序列形式{hk， gk}k?Z， 也可以表示為頻域上的 2?周期函數(shù) {h (?)， g(?)}。,)()(:)4。 1)。 從函數(shù)分解的角度 ， 希望能找到另外一個(gè)基函數(shù) ?(t) 來代替 sint。 實(shí)際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實(shí)的場景中經(jīng)過采樣和量化處理后得到的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Daubechies小波 一些著名的小波 [3]： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Coiflets小波 Symlets小波 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Morlet小波 Mexican Hat小波 Meyer小波 SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 傅立葉變換與時(shí)頻分析 [4] 我們知道，任何復(fù)雜的周期信號(hào) f(t)可以用簡單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級(jí)數(shù)， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡單的調(diào)和 振蕩函數(shù)，直觀講都是正弦波。 ZkjkttttfkjfDWjjkjkj??????,)2(2)()(),(),)((2,，????() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是 ， 它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì) 。