小波分析課件適用于初學(xué)者-展示頁(yè)
2025-05-21 23:52本頁(yè)面
【正文】 就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對(duì)應(yīng)，即 從數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了 ， 傅立葉級(jí)數(shù)的前 N項(xiàng)和是原函數(shù) f(t) 在給定能量下的最佳逼近： ????2,1,0s i n)(22,1,0c o s)(20000??????ktd tktfTbktd tktfTaTkTk，??() () ? ???),(),(,)( 22110 babaatf ? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對(duì)于 L2(R)上的非周期函數(shù) f(t) ，有 ? ? 0s i nc o s2)(l i m201000 ??????????? ????dxtkbtkaatfT NkkkN??() ? ???? ?? dtetff ti ?? )()(?() 稱 )(? ?f 為 f(t)的傅立葉變換，反變換公式為 ? ????? ?? ? deftf ti)(?)(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 有了傅立葉變換 ， 我們可以很容易地將時(shí)域信號(hào) f(t)轉(zhuǎn)換到頻域 上 ， 于是信號(hào)的頻率特性一目了然 ， 并且與傅立葉級(jí)數(shù)一樣 ， 傅立葉變換將一段信號(hào)的主要低頻能量都集中在頻率信號(hào)的前面幾項(xiàng) ， 這種能量集中性有利于進(jìn)一步的處理 。 目前 ， 可簡(jiǎn)單地將小波理解為滿足以下兩個(gè)條件的特殊信號(hào)： (1) 小波必須時(shí)振蕩的； (2) 小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零 ， 即是局部化的 。 信號(hào) f(t)經(jīng)傅立葉變換由時(shí)域變換到頻域 ， 基底不同得到大變換也不同 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 如圖 1所示的 LENA圖像 f(x,y)，假設(shè)圖像的大小是 512x512，量化級(jí)是 256，即 5 1 1,0 2 5 5),(0 ???? yxyxfx y College of Mathematics and Computer Science, Hebei University L2(R)空間的正交分解和變換 [1] 對(duì) f(t)?L2(R)， 存在 L2(R) 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 gi(t)， t ?R，i=1,2,… 使得 其中 ?????1)()(iii tgctf() Zlkdttgtgtgtgdttgtftgtfckllklkiii???????????????????,)()()(),()()()(),(，?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對(duì)于給定信號(hào) f(t)， 關(guān)鍵是選擇合適的基 gi(t) ， 使得 f(t)在這組基下的表現(xiàn)呈現(xiàn)出我們需要的特性 ， 但是如果某一個(gè)基不滿足要求 ， 可通過(guò)變換將函數(shù)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基下表示 ， 才能得到我們需要的函數(shù)表示 。 實(shí)際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實(shí)的場(chǎng)景中經(jīng)過(guò)采樣和量化處理后得到的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? ???? ? 0)( 2 dttf() 一個(gè)信號(hào)從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看 ， 它是一個(gè)自變量為時(shí)間 t的函數(shù) f(t)。College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 一、認(rèn)識(shí)小波 預(yù)備知識(shí) 從數(shù)學(xué)的角度講，小波是構(gòu)造函數(shù)空間正交基的基本單元，是在能量有限空間 L2(R) 上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認(rèn)識(shí)小波需要 L2(R) 空間的基礎(chǔ)知識(shí)，特別是內(nèi)積空間中空間分解、函數(shù)變換等的基礎(chǔ)知識(shí)。 從信號(hào)處理的角度講，小波 (變換 )是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析 (處理 )工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，所以從信號(hào)處理的角度認(rèn)識(shí)小波，需要傅立葉變換、傅立葉級(jí)數(shù)、濾波器等的基礎(chǔ)知識(shí)。 因?yàn)樾盘?hào)是能量有限的 ， 即 滿足條件 ()的所有函數(shù)的集合就形成 L2(R) 圖像是二維信號(hào) ， 同樣是能量有限的 。 從數(shù)學(xué)上看 ， 圖像是定義在 L2(R2)上的函數(shù) 。 常用的變換 [2]有： (1) KL變換 (2) Walsh變換 (3) 傅立葉變換 (4) 小波變換 如圖所示 是信號(hào) f(t)的傅立葉變換示意圖 。 在信號(hào)處理中 ， 有兩類非常重要的變換即傅立葉變換和 小波變換 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Daubechies小波 一些著名的小波 [3]： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Coiflets小波 Symlets小波 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Morlet小波 Mexican Hat小波 Meyer小波 SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 傅立葉變換與時(shí)頻分析 [4] 我們知道，任何復(fù)雜的周期信號(hào) f(t)可以用簡(jiǎn)單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級(jí)數(shù)， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡(jiǎn)單的調(diào)和 振蕩函數(shù)，直觀講都是正弦波。 在過(guò)去200年里 ， 傅立葉分析在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用 ，但傅立葉分析也有不足 ， 主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)： )(? ?f? 傅立葉分析不能刻畫時(shí)域信號(hào)的局部特性； ? 傅立葉分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理效果不好。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 歌聲信號(hào) 歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù) ， 其傅立葉變換就是將這個(gè)波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點(diǎn)，信號(hào)變換到小波域后，小波不僅能檢測(cè)到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號(hào)相對(duì)應(yīng)，如圖所示。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因此我們需要這樣一個(gè)數(shù)學(xué)工具：既能在時(shí)域很好地刻畫信號(hào)的局部性 ，同時(shí)也能在頻域反映信號(hào)的局部性 ， 這種數(shù)學(xué)工具就是 “ 小波 ” 。 ?(t) 應(yīng)滿足以下三個(gè)特性： ? 任何復(fù)雜的信號(hào) f(t)， 都能由一個(gè)母函數(shù) ?(t) 經(jīng)過(guò)伸縮和平移產(chǎn)生的基底的線性組合表示； ? 信號(hào)用新的基展開的系數(shù)要能反映出信號(hào)在時(shí)域上的局部化特性； ? 新的基函數(shù) ?(t) 及其伸縮平移要比三角基 sint更好地匹配非平穩(wěn)信號(hào) 。 ??????????????????????? 1,21 121,0 1)(xxt?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明： 小波級(jí)數(shù)、信號(hào)的小波逼近 ? ?Zkjktj ?? ,|)2(?構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)正交基，通過(guò)規(guī)范化處理， () ),( )2(2)(
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