【正文】 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波運(yùn)算的基本步驟： (1) 選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始點(diǎn)對(duì)齊； (2) 計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù) C， C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。 由 MRA的單調(diào)性可以看出： Vj是 Vj+1的嚴(yán)格子空間 ， 設(shè) Wj是 Vj關(guān)于 Vj+1的正交補(bǔ) (子空間 )， 即 ? ?? ?ljljjjjjjjjjjjjjjjjjWVWWWVWWVVWVWVVWVV??????????????????????????112211111:于是顯然，且即滿足???() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對(duì)于一幅圖像，量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 解決問題 2卻是一件非常困難的事情 。因此當(dāng)尺度函數(shù) ?(t)已經(jīng)確定時(shí)，只要能找到一個(gè)滿足公式 ()和 ()的 g(?)，就一定能找到對(duì)應(yīng)的小波 ?(t)，但是這樣的解并不是唯一的。 具體步驟為： ? 圖像信號(hào)的小波分解：選擇合適的小波及恰當(dāng)?shù)姆纸鈱哟?N， 對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行 N層的小波分解； ? 對(duì)分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化：對(duì)于分解的每一層 ， 選擇恰當(dāng)?shù)拈撝?， 對(duì)該層高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理； ? 重構(gòu)圖像：根據(jù)小波分解后的第 N層近似的低頻系數(shù)和經(jīng)過閾值量化處理后的 細(xì)節(jié)高頻系數(shù) ， 重構(gòu)圖像 。 所謂低通是指：當(dāng)信號(hào) f(t)被{hk}k?Z作用后 ， 其低頻成分能被保留下來 ， 而高頻成分 (?=?)卻被濾掉了 。 此時(shí) ， ?(t)只在有限區(qū)間 [0， N]上取值 ， 所以 ?(t)是緊支的 ， 其支集 supp=[0， N]， ()式變?yōu)椋? ????Nkk ktht0)2()( ??() 此時(shí) ?(t)也是緊支的。:)1??????????????????????????College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 多分辨空間的關(guān)系可用下圖來形象地說明。4s in ()( ?? attfCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University 21)。 ??????????????????????? 1,21 121,0 1)(xxt?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明： 小波級(jí)數(shù)、信號(hào)的小波逼近 ? ?Zkjktj ?? ,|)2(?構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)正交基，通過規(guī)范化處理， () ),( )2(2)( 2, Zkjktt jjkj ??? ??構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)規(guī)范正交基。 常用的變換 [2]有： (1) KL變換 (2) Walsh變換 (3) 傅立葉變換 (4) 小波變換 如圖所示 是信號(hào) f(t)的傅立葉變換示意圖 。 信號(hào) f(t)經(jīng)傅立葉變換由時(shí)域變換到頻域 ， 基底不同得到大變換也不同 。故任何一個(gè)能量有限信號(hào)f(t)?L2(R) 可以分解為 () ?? ?????? ??????dtttfttfctctfkjkjkjZj Zkkjkj)()()(),()()(,???其中() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 二、小波變換的定義及特點(diǎn) 定義 1 [1]函數(shù) ?(t)?L2(R) 稱為基本小波，如果它滿足以下的“允許”條件： ???????? ???? dtC)(?() 如果 )(? ?? 是連續(xù)的，易得： 0)(0)0(? ??? ? ????dtt??() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ?(t)又稱為母小波，因?yàn)槠渖炜s、平移可構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基： 同傅立葉變換一樣，連續(xù)小波變換可定義為函數(shù)與小波基的內(nèi)積： 將 a,b離散化，令 可得離散小波變換： RbRaabtatba ???????? ?? ?? ,)( 21, ，??() ? ? ??? )(),(),( , ttfbafW ba??() Zkjkba jj ??? ?? ,22 ，() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 總結(jié)： 小波 即小區(qū)域的波 ， 是一種特殊的長度有限 、 平均值為零的波形 。2()( ?? attf ?41)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 如果 {g(tk)}k?Z是 V0的 Riesz基，可通過正交化得到 V0空間的函數(shù) ?(t)?V0，使得 {?(tk)}k?Z 構(gòu)成 V0空間的規(guī)范正交基。所以只要濾波器的長度是有限的，我們稱對(duì)應(yīng)的小波 ?(t)是緊支小波。 對(duì)應(yīng)的小波濾波器 g(?)也是 共軛鏡像濾波器 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 。 RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University S. Mallat[4]同時(shí)給出了這樣的結(jié)論：若高通濾波器 g(?)滿足公式()和 ()，則由公式 ????????????? 2?2)(? ????? g產(chǎn)生的小波基 {?(tk)}k?Z構(gòu)成 W0空間的規(guī)范正交基。 )(??? 通過解雙尺度方程 ()， 我們希望得到滿足 MRA的尺度函數(shù) ?(t) ， 并最終構(gòu)造出小波函數(shù) ?(t) ， 但有兩個(gè)問題必須解決： 問題 1： 雙尺度方程 ()是否有解 ？ 解的唯一性如何 ？ 問題 2： 雙尺度方程 ()的解是否滿足 MRA？ 關(guān)于問題 1， I. Daubechies和 Lagarias[7]在 1991年給出了證明 。 于是 RtZkjktt jjkj ???? ， ,)2(2)( 2, ??() ???????ZjkjkjVjtttffVtfRLtfj)()(),()()()(,2??空間的正交投影是在每個(gè)，則() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 注意： ?(t)并不是 L2(R )空間的小波函數(shù) ， 而是與其緊密相關(guān)的尺度函數(shù) ， {?j,k(t)}j,k?Z稱為尺度基 ， 多分辨空間序列{Vj}j?Z稱為尺度空間 ， 在 MRA意義下 ， 可由尺度基導(dǎo)出小波基 。()( ?? attf ?College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 時(shí)間平移 時(shí)間平移就是指小波函數(shù)在時(shí)間軸上的波形平行移動(dòng)，如圖所示。 傅立葉分析是將信號(hào)分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加 ， 同樣小波分析是將信號(hào)分解為一系列小波函數(shù)的疊加 ， 而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移和尺度伸縮得來的 。 目前 ， 可簡單地將小波理解為滿足以下兩個(gè)條件的特殊信號(hào)： (1) 小波必須時(shí)振蕩的； (2) 小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零 ， 即是局部化的 。 從數(shù)學(xué)上看 ， 圖像是定義在 L2(R2)上的函數(shù) 。 ?