小波分析課件適用于初學(xué)者(參考版)
2025-05-15 23:52本頁面
【正文】 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波信號去噪一 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波信號去噪二 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 圖像融合 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波圖像去噪 [8] 因為噪聲信號多包含在具有較高頻率的細(xì)節(jié)中 ，所以小波去噪首先對圖像信號進(jìn)行小波 分解 ， 可利用門限閾值對所分解的小波系數(shù)進(jìn)行處理 ， 然后對圖像信號進(jìn)行小波重構(gòu) ， 抑制圖像信號中的無用部分 ， 恢復(fù)圖像信號中的有用部分 。下面以圖象去噪為例說明小波應(yīng)用策略。它們共同構(gòu)成 Vj+1上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 Vj+1上的函數(shù) {?j+1,n}j,n?Z可以由這兩個基共同表示： ??????? ??????ZkkjkjnjZkkjkjnjnj ,1,1,1 , ???????有前面的計算可知： knkjnjknkjnjgh2,12,121,21,??????????????故 ??????? ??ZkkjknZkkjknnj gh ,2,2,1 2121 ???College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 從而 ????????????????????????ZkkjknZkkjknZkkjknZkkjknnjnjdgchtfgtfhtfc,2,2,2,2,1,12121),(21),(21),(???這就是 Mallat重構(gòu)算法： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波的應(yīng)用 [1,4,8,9] 小波的應(yīng)用主要是信號的處理，其中最典型的應(yīng)用是小波圖象壓縮。 公式 ()和 ()稱為離散小波變換的分解公式 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 定理 設(shè) {h,g}是由正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生的共軛鏡像濾波器，則以下幾個條件等價： ? 在頻域上 ()式成立； ? 在時域上以下公式成立： ?????????????ZjkjjZjkkjjZjkkjjghZkgghh0 2220,20,2??() ? 定義調(diào)制矩陣： ???????????)()()()()(???????gghhm() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 則 Rmm T ??? ??? ，1)()(() 利用共軛鏡像濾波器實現(xiàn)快速正交小波變換 [4] L2(R) 空間的一個 MRA產(chǎn)生了兩個子空間：尺度空間 {Vj}j?Z和小波空間 {Wj}j?Z。例如可取 )()( ??? ? ?? ? heg i() 可以驗證 g(?)滿足 ()和 ()，對應(yīng)的共軛鏡像濾波器為： kkk hg ???? 11)1(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因此當(dāng)找到低通共軛鏡像濾波器 {hk}k?Z后 ， 利用公式 ()馬上可得高通共軛鏡像濾波器 {gk}k?Z。 RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University S. Mallat[4]同時給出了這樣的結(jié)論：若高通濾波器 g(?)滿足公式()和 ()，則由公式 ????????????? 2?2)(? ????? g產(chǎn)生的小波基 {?(tk)}k?Z構(gòu)成 W0空間的規(guī)范正交基。 對應(yīng)的小波濾波器 g(?)也是 共軛鏡像濾波器 。 h(?)滿足以下條件： 0)(1)0(1)()(22?????????hhhhCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University 濾波器 {hk}k?Z稱為低通濾波器 。 實際上 ， {?(t),?(t)}t?R 大量的性質(zhì) 都可以由 對應(yīng)的{h(?),g(?)}??R從頻域上反映出來 ， 甚至離散小波變換都可以借助濾波器來實現(xiàn) ， 因此小波與濾波器具有緊密的關(guān)系 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 算法： 構(gòu)造緊支小波基 步驟 1 尋找滿足雙尺度方程 ()和 ()的濾波器 {hk,gk}k?0,1,…,N 步驟 2 利用公式 ()計算 2?周期函數(shù) h(?)； 步驟 3 驗證 h(?)是否滿足條件 ???????????1 2)(?jjh???通過傅立葉反變換求出 ?(t) 步驟 5 驗證矩陣 A的特征值 1是否非退化； 步驟 6 {?(tk)}k?Z是正交的尺度函數(shù)，對應(yīng)的緊支小波由公式()計算。下面給出W. Lawton的充分條件。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 僅有必要條件是不夠的，即 {hk}k?Z除了滿足條件 ()和 () 外，還應(yīng)滿足其他條件。 這里牽涉到尺度函數(shù) ?(t)與濾波器系數(shù) {hk}k?Z之間的關(guān)系問題： ? 如果有一個 L2(R)空間的尺度函數(shù) ?(t)， 一定能構(gòu)造出雙尺度方程 () ， 從而找到一組滿足 ()的濾波器 {hk}k?Z； ? 反過來 ， 如果有一組濾波器 {hk}k?Z滿足某個雙尺度方程 ， 由此求解得到的函數(shù)卻不一定是滿足 MRA的尺度函數(shù) ， 這樣無法保證雙尺度方程解的平移構(gòu)成 L2(R) Riesz基 若 ?(t)是正交的 ， 則相應(yīng)的濾波器 h有什么性質(zhì)呢 ？ 定理 1[3] 若 ?(t)是正交的 ， 則相應(yīng)的濾波器 {hk}必須滿足條件： 1)0(1)()( 22????hhh ???() () 但是，如果 {hk}僅僅滿足 ()和 () ，并不能保證由雙尺度方程構(gòu)造出的函數(shù) ?(t)是正交尺度函數(shù)。 )(??? 通過解雙尺度方程 ()， 我們希望得到滿足 MRA的尺度函數(shù) ?(t) ， 并最終構(gòu)造出小波函數(shù) ?(t) ， 但有兩個問題必須解決： 問題 1： 雙尺度方程 ()是否有解 ？ 解的唯一性如何 ？ 問題 2： 雙尺度方程 ()的解是否滿足 MRA？ 關(guān)于問題 1， I. Daubechies和 Lagarias[7]在 1991年給出了證明 。所以只要濾波器的長度是有限的，我們稱對應(yīng)的小波 ?(t)是緊支小波。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 若 k0和 kN時 ， hk=0， 這樣的濾波器稱為有限脈沖響應(yīng)濾波器(FIR)， FIR濾波器具有好的局部化特性 。由 ?(t) 的正交性可得： 對雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的的雙尺度方程： ZkkttgZkktthkk??????，)2(),()2(),(???? () () ??????????????????????????2?2)(?2?2)(?
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