【正文】 小波的各種應(yīng)用均可分為以下三步： 1）對(duì)原始信號(hào)作小波變換，將信號(hào)由空域變換到頻域； 2）對(duì)小波系數(shù)做相應(yīng)處理； 3）對(duì)處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，還原原信號(hào)。 總結(jié)： 在一個(gè) MRA下的正交尺度函數(shù)和小波函數(shù) {?(t),?(t)}t?R，產(chǎn)生一組共軛鏡像濾波器 {h,g}， 滿足： 0)()()()(1)()(1)()(2222??????????????????????ghghgghh() 公式 ()還有幾個(gè)等價(jià)形式，下面以定理的形式給出。 正交尺度函數(shù)產(chǎn)生共軛鏡像濾波器 定義 若尺度函數(shù) ?(t)是正交的 ， 則它所對(duì)應(yīng)的濾波器 h(?)稱為共軛鏡像濾波器 。 ()和 () 稱為構(gòu)造正交小波的 必要條件 。兩者本質(zhì)上是一樣的 。 我們可以將不同的量化級(jí)數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間 Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的， ? ? 列，稱為小波空間。)2()(:)3)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 尺度與頻率的關(guān)系 尺度與頻率的關(guān)系如下： ? 小尺度 a ?壓縮的小波 ?快速變換的細(xì)節(jié) ?高頻部分 ? 大尺度 a ?拉伸的小波 ?緩慢變換的粗部 ?低頻部分 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 三、多分辨分析 由母小波按如下方式的伸縮平移可構(gòu)成 L2(R)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基 如何構(gòu)造母小波呢 ？ 1989年 ， Mallat和 Meyer提出了按多分辨分析的思想來構(gòu)造母小波 ， 其基本思想是： ? 現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的層層嵌套的閉子空間序列 {Vj}j?Z，這個(gè) 閉子空間序列充滿了整個(gè) L2(R)空間 。s in ()( ?? attf21)。 小波分析廣泛應(yīng)用與信號(hào)處理 、 圖像處理 、 語音識(shí)別等領(lǐng)域 。 ?(t) 應(yīng)滿足以下三個(gè)特性： ? 任何復(fù)雜的信號(hào) f(t)， 都能由一個(gè)母函數(shù) ?(t) 經(jīng)過伸縮和平移產(chǎn)生的基底的線性組合表示； ? 信號(hào)用新的基展開的系數(shù)要能反映出信號(hào)在時(shí)域上的局部化特性； ? 新的基函數(shù) ?(t) 及其伸縮平移要比三角基 sint更好地匹配非平穩(wěn)信號(hào) 。 在過去200年里 ， 傅立葉分析在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用 ，但傅立葉分析也有不足 ， 主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)： )(? ?f? 傅立葉分析不能刻畫時(shí)域信號(hào)的局部特性； ? 傅立葉分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理效果不好。 從數(shù)學(xué)上看 ， 圖像是定義在 L2(R2)上的函數(shù) 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? ???? ? 0)( 2 dttf() 一個(gè)信號(hào)從數(shù)學(xué)的角度來看 ， 它是一個(gè)自變量為時(shí)間 t的函數(shù) f(t)。 目前 ， 可簡單地將小波理解為滿足以下兩個(gè)條件的特殊信號(hào)： (1) 小波必須時(shí)振蕩的； (2) 小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零 ， 即是局部化的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 信號(hào)逼近：如圖 (a)和 (b)是原始信號(hào)，其余的是逼近信號(hào)。 傅立葉分析是將信號(hào)分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加 ， 同樣小波分析是將信號(hào)分解為一系列小波函數(shù)的疊加 ， 而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移和尺度伸縮得來的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。()( ?? attf ?College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 時(shí)間平移 時(shí)間平移就是指小波函數(shù)在時(shí)間軸上的波形平行移動(dòng)，如圖所示。 ? ?? ?? ?????????????????????????????????????????jjjjjjjZjjnnjjjZjjjcBgccAlcBAtgctflcHfHZjtgs p a n22222,0 )2)()(,0,|)( )1有使得存在常數(shù)使得總存在即??() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 定義 1 空間 L2(R )中的多分辨分析是指 L2(R )中的滿足如下條件的一個(gè)子空間序列 ? ? ZjjV ? ? ?? ? 基。 于是 RtZkjktt jjkj ???? ， ,)2(2)( 2, ??() ???????ZjkjkjVjtttffVtfRLtfj)()(),()()()(,2??空間的正交投影是在每個(gè)，則() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 注意： ?(t)并不是 L2(R )空間的小波函數(shù) ， 而是與其緊密相關(guān)的尺度函數(shù) ， {?j,k(t)}j,k?Z稱為尺度基 ， 多分辨空間序列{Vj}j?Z稱為尺度空間 ， 在 MRA意義下 ， 可由尺度基導(dǎo)出小波基 。 在實(shí)踐中很難通過小波空間直接構(gòu)造小波 ， 但通過 MRA可推導(dǎo)出一個(gè)非常重要的關(guān)系：雙尺度方程 ， 通過求解該方程 ， 使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù) 。 )(??? 通過解雙尺度方程 ()， 我們希望得到滿足 MRA的尺度函數(shù) ?(t) ， 并最終構(gòu)造出小波函數(shù) ?(t) ， 但有兩個(gè)問題必須解決： 問題 1： 雙尺度方程 ()是否有解 ？ 解的唯一性如何 ？ 問題 2： 雙尺度方程 ()的解是否滿足 MRA？ 關(guān)于問題 1， I. Daubechies和 Lagarias[7]在 1991年給出了證明 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 算法： 構(gòu)造緊支小波基 步驟 1 尋找滿足雙尺度方程 ()和 ()的濾波器 {hk,gk}k?0,1,…,N 步驟 2 利用公式 ()計(jì)算 2?周期函數(shù) h(?)； 步驟 3 驗(yàn)證 h(?)是否滿足條件 ???????????1 2)(?jjh???通過傅立葉反變換求出 ?(t) 步驟 5 驗(yàn)證矩陣 A的特征值 1是否非退化； 步驟 6 {?(tk)}k?Z是正交的尺度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的緊支小波由公式()計(jì)算。 RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University S. Mallat[4]同時(shí)給出了這樣的結(jié)論：若高通濾波器 g(?)滿足公式()和 ()，則由公式 ????????????? 2?2)(? ????? g產(chǎn)生的小波基 {?(tk)}k?Z構(gòu)成 W0空間的規(guī)范正交基。它們共同構(gòu)成 Vj+1上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 Vj+1上的函數(shù) {?j+1,n}j,n?Z可以由這兩個(gè)基共同表示： ??????? ??????ZkkjkjnjZkkjkjnjnj ,1,1,1 , ???????有前面的計(jì)算可知： knkjnjknkjnjgh2,12,121,21,??????????????故 ??????? ??ZkkjknZkkjknnj gh ,2,2,1 2121 ???College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 從而 ????????????????????????ZkkjknZkkjknZkkjknZkkjknnjnjdgchtfgtfhtfc,2,2,2,2,1,12121),(21),(21),(???這就是 Mallat重構(gòu)算法： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波的應(yīng)用 [1,4,8,9] 小波的應(yīng)用主要是信號(hào)的處理，其中最典