【正文】 小波的各種應用均可分為以下三步： 1）對原始信號作小波變換，將信號由空域變換到頻域； 2）對小波系數做相應處理； 3）對處理后的小波系數做小波逆變換，還原原信號。 總結： 在一個 MRA下的正交尺度函數和小波函數 {?(t),?(t)}t?R，產生一組共軛鏡像濾波器 {h,g}， 滿足： 0)()()()(1)()(1)()(2222??????????????????????ghghgghh() 公式 ()還有幾個等價形式，下面以定理的形式給出。 正交尺度函數產生共軛鏡像濾波器 定義 若尺度函數 ?(t)是正交的 ， 則它所對應的濾波器 h(?)稱為共軛鏡像濾波器 。 ()和 () 稱為構造正交小波的 必要條件 。兩者本質上是一樣的 。 我們可以將不同的量化級數構成的空間看成不同的多分辨空間 Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的， ? ? 列，稱為小波空間。)2()(:)3)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 尺度與頻率的關系 尺度與頻率的關系如下： ? 小尺度 a ?壓縮的小波 ?快速變換的細節(jié) ?高頻部分 ? 大尺度 a ?拉伸的小波 ?緩慢變換的粗部 ?低頻部分 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 三、多分辨分析 由母小波按如下方式的伸縮平移可構成 L2(R)空間的標準正交基 如何構造母小波呢 ？ 1989年 ， Mallat和 Meyer提出了按多分辨分析的思想來構造母小波 ， 其基本思想是： ? 現(xiàn)構造一個具有特定性質的層層嵌套的閉子空間序列 {Vj}j?Z，這個 閉子空間序列充滿了整個 L2(R)空間 。s in ()( ?? attf21)。 小波分析廣泛應用與信號處理 、 圖像處理 、 語音識別等領域 。 ?(t) 應滿足以下三個特性： ? 任何復雜的信號 f(t)， 都能由一個母函數 ?(t) 經過伸縮和平移產生的基底的線性組合表示； ? 信號用新的基展開的系數要能反映出信號在時域上的局部化特性； ? 新的基函數 ?(t) 及其伸縮平移要比三角基 sint更好地匹配非平穩(wěn)信號 。 在過去200年里 ， 傅立葉分析在科學與工程領域發(fā)揮了巨大的作用 ，但傅立葉分析也有不足 ， 主要表現(xiàn)在以下兩點： )(? ?f? 傅立葉分析不能刻畫時域信號的局部特性； ? 傅立葉分析對非平穩(wěn)信號的處理效果不好。 從數學上看 ， 圖像是定義在 L2(R2)上的函數 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? ???? ? 0)( 2 dttf() 一個信號從數學的角度來看 ， 它是一個自變量為時間 t的函數 f(t)。 目前 ， 可簡單地將小波理解為滿足以下兩個條件的特殊信號： (1) 小波必須時振蕩的； (2) 小波的振幅只能在一個很短的一段區(qū)間上非零 ， 即是局部化的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 信號逼近：如圖 (a)和 (b)是原始信號，其余的是逼近信號。 傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加 ， 同樣小波分析是將信號分解為一系列小波函數的疊加 ， 而這些小波函數都是由一個母小波函數經過平移和尺度伸縮得來的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。()( ?? attf ?College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 時間平移 時間平移就是指小波函數在時間軸上的波形平行移動，如圖所示。 ? ?? ?? ?????????????????????????????????????????jjjjjjjZjjnnjjjZjjjcBgccAlcBAtgctflcHfHZjtgs p a n22222,0 )2)()(,0,|)( )1有使得存在常數使得總存在即??() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 定義 1 空間 L2(R )中的多分辨分析是指 L2(R )中的滿足如下條件的一個子空間序列 ? ? ZjjV ? ? ?? ? 基。 于是 RtZkjktt jjkj ???? ， ,)2(2)( 2, ??() ???????ZjkjkjVjtttffVtfRLtfj)()(),()()()(,2??空間的正交投影是在每個，則() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 注意： ?(t)并不是 L2(R )空間的小波函數 ， 而是與其緊密相關的尺度函數 ， {?j,k(t)}j,k?Z稱為尺度基 ， 多分辨空間序列{Vj}j?Z稱為尺度空間 ， 在 MRA意義下 ， 可由尺度基導出小波基 。 在實踐中很難通過小波空間直接構造小波 ， 但通過 MRA可推導出一個非常重要的關系：雙尺度方程 ， 通過求解該方程 ， 使我們有可能求出尺度函數和小波函數 。 )(??? 通過解雙尺度方程 ()， 我們希望得到滿足 MRA的尺度函數 ?(t) ， 并最終構造出小波函數 ?(t) ， 但有兩個問題必須解決： 問題 1： 雙尺度方程 ()是否有解 ？ 解的唯一性如何 ？ 問題 2： 雙尺度方程 ()的解是否滿足 MRA？ 關于問題 1， I. Daubechies和 Lagarias[7]在 1991年給出了證明 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 算法： 構造緊支小波基 步驟 1 尋找滿足雙尺度方程 ()和 ()的濾波器 {hk,gk}k?0,1,…,N 步驟 2 利用公式 ()計算 2?周期函數 h(?)； 步驟 3 驗證 h(?)是否滿足條件 ???????????1 2)(?jjh???通過傅立葉反變換求出 ?(t) 步驟 5 驗證矩陣 A的特征值 1是否非退化； 步驟 6 {?(tk)}k?Z是正交的尺度函數，對應的緊支小波由公式()計算。 RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University S. Mallat[4]同時給出了這樣的結論：若高通濾波器 g(?)滿足公式()和 ()，則由公式 ????????????? 2?2)(? ????? g產生的小波基 {?(tk)}k?Z構成 W0空間的規(guī)范正交基。它們共同構成 Vj+1上的標準正交基，則 Vj+1上的函數 {?j+1,n}j,n?Z可以由這兩個基共同表示： ??????? ??????ZkkjkjnjZkkjkjnjnj ,1,1,1 , ???????有前面的計算可知： knkjnjknkjnjgh2,12,121,21,??????????????故 ??????? ??ZkkjknZkkjknnj gh ,2,2,1 2121 ???College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 從而 ????????????????????????ZkkjknZkkjknZkkjknZkkjknnjnjdgchtfgtfhtfc,2,2,2,2,1,12121),(21),(21),(???這就是 Mallat重構算法： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波的應用 [1,4,8,9] 小波的應用主要是信號的處理，其中最典