【正文】 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 一、認(rèn)識小波 預(yù)備知識 從數(shù)學(xué)的角度講，小波是構(gòu)造函數(shù)空間正交基的基本單元，是在能量有限空間 L2(R) 上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認(rèn)識小波需要 L2(R) 空間的基礎(chǔ)知識，特別是內(nèi)積空間中空間分解、函數(shù)變換等的基礎(chǔ)知識。 從信號處理的角度講，小波 (變換 )是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析 (處理 )工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，所以從信號處理的角度認(rèn)識小波，需要傅立葉變換、傅立葉級數(shù)、濾波器等的基礎(chǔ)知識。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? ???? ? 0)( 2 dttf() 一個(gè)信號從數(shù)學(xué)的角度來看 ， 它是一個(gè)自變量為時(shí)間 t的函數(shù) f(t)。 因?yàn)樾盘柺悄芰坑邢薜?， 即 滿足條件 ()的所有函數(shù)的集合就形成 L2(R) 圖像是二維信號 ， 同樣是能量有限的 。 實(shí)際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實(shí)的場景中經(jīng)過采樣和量化處理后得到的 。 從數(shù)學(xué)上看 ， 圖像是定義在 L2(R2)上的函數(shù) 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 如圖 1所示的 LENA圖像 f(x,y)，假設(shè)圖像的大小是 512x512，量化級是 256，即 5 1 1,0 2 5 5),(0 ???? yxyxfx y College of Mathematics and Computer Science, Hebei University L2(R)空間的正交分解和變換 [1] 對 f(t)?L2(R)， 存在 L2(R) 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 gi(t)， t ?R，i=1,2,… 使得 其中 ?????1)()(iii tgctf() Zlkdttgtgtgtgdttgtftgtfckllklkiii???????????????????,)()()(),()()()(),(，?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于給定信號 f(t)， 關(guān)鍵是選擇合適的基 gi(t) ， 使得 f(t)在這組基下的表現(xiàn)呈現(xiàn)出我們需要的特性 ， 但是如果某一個(gè)基不滿足要求 ， 可通過變換將函數(shù)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基下表示 ， 才能得到我們需要的函數(shù)表示 。 常用的變換 [2]有： (1) KL變換 (2) Walsh變換 (3) 傅立葉變換 (4) 小波變換 如圖所示 是信號 f(t)的傅立葉變換示意圖 。 信號 f(t)經(jīng)傅立葉變換由時(shí)域變換到頻域 ， 基底不同得到大變換也不同 。 在信號處理中 ， 有兩類非常重要的變換即傅立葉變換和 小波變換 。 目前 ， 可簡單地將小波理解為滿足以下兩個(gè)條件的特殊信號： (1) 小波必須時(shí)振蕩的； (2) 小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零 ， 即是局部化的 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Daubechies小波 一些著名的小波 [3]： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Coiflets小波 Symlets小波 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Morlet小波 Mexican Hat小波 Meyer小波 SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 傅立葉變換與時(shí)頻分析 [4] 我們知道，任何復(fù)雜的周期信號 f(t)可以用簡單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級數(shù)， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡單的調(diào)和 振蕩函數(shù)，直觀講都是正弦波。 kk ba 和是函數(shù) f(t)的傅立葉系數(shù)， 可由以下公式計(jì)算： ???????1000 )s i nc o s(2)(ikk tkbtkaatf ??() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 于是，周期函數(shù) f(t) 就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對應(yīng)，即 從數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了 ， 傅立葉級數(shù)的前 N項(xiàng)和是原函數(shù) f(t) 在給定能量下的最佳逼近： ????2,1,0s i n)(22,1,0c o s)(20000??????ktd tktfTbktd tktfTaTkTk，??() () ? ???),(),(,)( 22110 babaatf ? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于 L2(R)上的非周期函數(shù) f(t) ，有 ? ? 0s i nc o s2)(l i m201000 ??????????? ????dxtkbtkaatfT NkkkN??() ? ???? ?? dtetff ti ?? )()(?() 稱 )(? ?f 為 f(t)的傅立葉變換，反變換公式為 ? ????? ?? ? deftf ti)(?)(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 有了傅立葉變換 ， 我們可以很容易地將時(shí)域信號 f(t)轉(zhuǎn)換到頻域 上 ， 于是信號的頻率特性一目了然 ， 并且與傅立葉級數(shù)一樣 ， 傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項(xiàng) ， 這種能量集中性有利于進(jìn)一步的處理 。 在過去200年里 ， 傅立葉分析在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用 ，但傅立葉分析也有不足 ， 主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)： )(? ?f? 傅立葉分析不能刻畫時(shí)域信號的局部特性； ? 傅立葉分析對非平穩(wěn)信號的處理效果不好。 下面通過兩個(gè)例子來說明這兩點(diǎn)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 歌聲信號 歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù) ， 其傅立葉變換就是將這個(gè)波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜 。 但遺憾地是 ， 傅立葉變換無法反映信號在哪一時(shí)刻有高音 ， 在哪一時(shí)刻有低音 ， 因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起 ， 如圖所示 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點(diǎn)，信號變換到小波域后，小波不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號相對應(yīng)，如圖所示。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 信號逼近：如圖 (a)和 (b)是原始信號，其余的是逼近信號。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因此我們需要這樣一個(gè)數(shù)學(xué)工具：既能在時(shí)域很好地刻畫信號的局部性 ，同時(shí)也能在頻域反映信號的局部性 ， 這種數(shù)學(xué)工具就是 “ 小波 ” 。 從函數(shù)分解的角度 ， 希望能找到另外一個(gè)基函數(shù) ?(t) 來代替 sint。 ?(t) 應(yīng)滿足以下三個(gè)特