【正文】 性： ? 任何復(fù)雜的信號 f(t)， 都能由一個母函數(shù) ?(t) 經(jīng)過伸縮和平移產(chǎn)生的基底的線性組合表示； ? 信號用新的基展開的系數(shù)要能反映出信號在時域上的局部化特性； ? 新的基函數(shù) ?(t) 及其伸縮平移要比三角基 sint更好地匹配非平穩(wěn)信號 。 歷史上 ， Haar第一個找到了這樣一個基函數(shù) ， 這就是非常著名但又及其簡單的 Haar小波 。 ??????????????????????? 1,21 121,0 1)(xxt?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明： 小波級數(shù)、信號的小波逼近 ? ?Zkjktj ?? ,|)2(?構(gòu)成 L2(R)的一個正交基，通過規(guī)范化處理， () ),( )2(2)( 2, Zkjktt jjkj ??? ??構(gòu)成 L2(R)的一個規(guī)范正交基。故任何一個能量有限信號f(t)?L2(R) 可以分解為 () ?? ?????? ??????dtttfttfctctfkjkjkjZj Zkkjkj)()()(),()()(,,???其中() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 二、小波變換的定義及特點(diǎn) 定義 1 [1]函數(shù) ?(t)?L2(R) 稱為基本小波，如果它滿足以下的“允許”條件： ???????? ???? dtC)(?() 如果 )(? ?? 是連續(xù)的，易得： 0)(0)0(? ??? ? ????dtt??() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ?(t)又稱為母小波，因為其伸縮、平移可構(gòu)成 L2(R)的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基： 同傅立葉變換一樣，連續(xù)小波變換可定義為函數(shù)與小波基的內(nèi)積： 將 a,b離散化，令 可得離散小波變換： RbRaabtatba ???????? ?? ?? ,)( 21, ，??() ? ? ??? )(),(),( , ttfbafW ba??() Zkjkba jj ??? ?? ,22 ，() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 總結(jié)： 小波 即小區(qū)域的波 ， 是一種特殊的長度有限 、 平均值為零的波形 。 它有兩個特點(diǎn)：一是 “ 小 ” ， 即在時域具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的 “ 波動性 ” ， 也即支流分量為零 。 傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加 ， 同樣小波分析是將信號分解為一系列小波函數(shù)的疊加 ， 而這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移和尺度伸縮得來的 。 ZkjkttttfkjfDWjjkjkj??????,)2(2)()(),(),)((2,，????() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是 ， 它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì) 。 而且由于對高頻成分采用逐漸精細(xì)的時域或頻域取樣步長 ， 從而可以聚焦到對象的任何細(xì)節(jié) ， 所以被稱為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。 小波分析廣泛應(yīng)用與信號處理 、 圖像處理 、 語音識別等領(lǐng)域 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 可以這樣理解小波變換的含義：打個比喻，我們用鏡頭觀察目標(biāo)信號 f (t)， ψ(t)代表鏡頭所起的所用。b 相當(dāng)于使鏡頭相對于目標(biāo)平行移動， a的所用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。由此可見，小波變換有以下特點(diǎn)： ? 多尺度 /多分辨的特點(diǎn)，可以由粗及細(xì)地處理信號； ? 可以看成用基本頻率特性為 ?(ω)的帶通濾波器在不同尺度 a下對信號做濾波。 ? 適當(dāng)?shù)剡x擇小波，使 ψ(t)在時域上為有限支撐 ,?(ω)在頻域上也比較集中，就可以使 WT在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。 ? 尺度伸縮 對波形的尺度伸縮就是在時間軸上對信號進(jìn)行壓縮和伸展，如圖所示。 1)。s in ()( ?? attf21)。2s in ()( ?? attf41)。4s in ()( ?? attfCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University 21)。2()( ?? attf ?41)。4()( ?? attf ?1)。()( ?? attf ?College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 時間平移 時間平移就是指小波函數(shù)在時間軸上的波形平行移動，如圖所示。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波運(yùn)算的基本步驟： (1) 選擇一個小波函數(shù)，并將這個小波與要分析的信號起始點(diǎn)對齊； (2) 計算在這一時刻要分析的信號與小波函數(shù)的逼近程度，即計算小波變換系數(shù) C， C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University (3) 將小波函數(shù)沿時間軸向右移動一個單位時間，然后重復(fù)步驟 (1)、 (2)求出此時的小波變換系數(shù) C，直到覆蓋完整個信號長度，如圖所示； College of Mathematics and Computer Science, Hebei University (4) 將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復(fù)步驟 (1)、 (2)、 (3)，如圖所示； (5) 對所有的尺度伸縮重復(fù)步驟 (1)、 (2)、 (3)、 (4)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ? 尺度與頻率的關(guān)系 尺度與頻率的關(guān)系如下： ? 小尺度 a ?壓縮的小波 ?快速變換的細(xì)節(jié) ?高頻部分 ? 大尺度 a ?拉伸的小波 ?緩慢變換的粗部 ?低頻部分 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 三、多分辨分析 由母小波按如下方式的伸縮平移可構(gòu)成 L2(R)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基 如何構(gòu)造母小波呢 ？ 1989年 ， Mallat和 Meyer提出了按多分辨分析的思想來構(gòu)造母小波 ， 其基本思想是： ? 現(xiàn)構(gòu)造一個具有特定性質(zhì)的層層嵌套的閉子空間序列 {Vj}j?Z，這個 閉子空間序列充滿了整個 L2(R)空間 。 ? 在 V0子空間找一個函數(shù) g(t)， 其平移 {g(tk)}k ?Z構(gòu)成 V0子空間的Riesz基 。 ? 對函數(shù) g(t)進(jìn)行正交化 ， 得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù) ?(t)。 ? 由 ?(t)計算出小波函數(shù) ?(t)。 多分辨分析 (MRA)的概念 [5] RtZkjktt jjkj ???? ， ,)2(2)( 2, ?? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Riesz基 定義 令 H是 Hilbert空間， H中的一個序列 {gj}j?Z是 Riesz基，如果它滿足以下的條件： A和 B分別稱為 Riesz基的上下界， Riesz基又稱為穩(wěn)定基。 ? ?? ?? ?????????????????????????????????????????jjjjjjjZjjnnjjjZjjjcBgccAlcBAtgctflcHfHZjtgs p a n22222,0 )2)()(,0,|)( )1有使得存在常數(shù)使得總存在