【正文】 :于是顯然，且即滿足???() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于一幅圖像，量化級數決定了圖像的分辨率，量化級數越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。:)1??????????????????????????College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 多分辨空間的關系可用下圖來形象地說明。的構成使得存在函數平移不變性伸縮性逼近性單調性R i e s zVktgVtgZkVktfVtfVtfVtfRLVVVVVZkjjjjZjjZjj0012101)(,)()5。 ? 對函數 g(t)進行正交化 ， 得到函數稱為正交尺度函數 ?(t)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波運算的基本步驟： (1) 選擇一個小波函數，并將這個小波與要分析的信號起始點對齊； (2) 計算在這一時刻要分析的信號與小波函數的逼近程度，即計算小波變換系數 C， C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數波形越相近，如圖所示。4s in ()( ?? attfCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University 21)。 ? 尺度伸縮 對波形的尺度伸縮就是在時間軸上對信號進行壓縮和伸展，如圖所示。b 相當于使鏡頭相對于目標平行移動， a的所用相當于鏡頭向目標推進或遠離。 ZkjkttttfkjfDWjjkjkj??????,)2(2)()(),(),)((2,，????() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是 ， 它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質 。 ??????????????????????? 1,21 121,0 1)(xxt?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 數學上已經證明： 小波級數、信號的小波逼近 ? ?Zkjktj ?? ,|)2(?構成 L2(R)的一個正交基，通過規(guī)范化處理， () ),( )2(2)( 2, Zkjktt jjkj ??? ??構成 L2(R)的一個規(guī)范正交基。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因此我們需要這樣一個數學工具：既能在時域很好地刻畫信號的局部性 ，同時也能在頻域反映信號的局部性 ， 這種數學工具就是 “ 小波 ” 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 歌聲信號 歌聲是一種聲音震蕩的波函數 ， 其傅立葉變換就是將這個波函數轉化成某種樂譜 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Daubechies小波 一些著名的小波 [3]： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Coiflets小波 Symlets小波 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Morlet小波 Mexican Hat小波 Meyer小波 SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 傅立葉變換與時頻分析 [4] 我們知道，任何復雜的周期信號 f(t)可以用簡單的調和振蕩函數表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級數， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡單的調和 振蕩函數，直觀講都是正弦波。 常用的變換 [2]有： (1) KL變換 (2) Walsh變換 (3) 傅立葉變換 (4) 小波變換 如圖所示 是信號 f(t)的傅立葉變換示意圖 。 因為信號是能量有限的 ， 即 滿足條件 ()的所有函數的集合就形成 L2(R) 圖像是二維信號 ， 同樣是能量有限的 。College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 一、認識小波 預備知識 從數學的角度講，小波是構造函數空間正交基的基本單元，是在能量有限空間 L2(R) 上滿足允許條件的函數，這樣認識小波需要 L2(R) 空間的基礎知識，特別是內積空間中空間分解、函數變換等的基礎知識。 實際上任何一幅數字圖像都是從真實的場景中經過采樣和量化處理后得到的 。 信號 f(t)經傅立葉變換由時域變換到頻域 ， 基底不同得到大變換也不同 。 kk ba 和是函數 f(t)的傅立葉系數， 可由以下公式計算： ???????1000 )s i nc o s(2)(ikk tkbtkaatf ??() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 于是，周期函數 f(t) 就與下面的傅立葉序列產生了一一對應，即 從數學上已經證明了 ， 傅立葉級數的前 N項和是原函數 f(t) 在給定能量下的最佳逼近： ????2,1,0s i n)(22,1,0c o s)(20000??????ktd tktfTbktd tktfTaTkTk，??() () ? ???),(),(,)( 22110 babaatf ? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于 L2(R)上的非周期函數 f(t) ，有 ? ? 0s i nc o s2)(l i m201000 ??????????? ????dxtkbtkaatfT NkkkN??() ? ???? ?? dtetff ti ?? )()(?() 稱 )(? ?f 為 f(t)的傅立葉變換，反變換公式為 ? ????? ?? ? deftf ti)(?)(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 有了傅立葉變換 ， 我們可以很容易地將時域信號 f(t)轉換到頻域 上 ， 于是信號的頻率特性一目了然 ， 并且與傅立葉級數一樣 ， 傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項 ， 這種能量集中性有利于進一步的處理 。 但遺憾地是 ， 傅立葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音 ， 在哪一時刻有低音 ， 因此結果是所有的音符都擠在了一起 ， 如圖所示 。 從函數分解的角度 ， 希望能找到另外一個基函數 ?(t) 來代替 sint。故任何一個能量有限信號f(t)?L2(R) 可以分解為 () ?? ?????? ??????dtttfttfctctfkjkjkjZj Zkkjkj)()()(),