【正文】 :于是顯然，且即滿足???() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于一幅圖像，量化級數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。:)1??????????????????????????College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 多分辨空間的關(guān)系可用下圖來形象地說明。的構(gòu)成使得存在函數(shù)平移不變性伸縮性逼近性單調(diào)性R i e s zVktgVtgZkVktfVtfVtfVtfRLVVVVVZkjjjjZjjZjj0012101)(,)()5。 ? 對函數(shù) g(t)進(jìn)行正交化 ， 得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù) ?(t)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波運(yùn)算的基本步驟： (1) 選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號起始點(diǎn)對齊； (2) 計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù) C， C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。4s in ()( ?? attfCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University 21)。 ? 尺度伸縮 對波形的尺度伸縮就是在時(shí)間軸上對信號進(jìn)行壓縮和伸展，如圖所示。b 相當(dāng)于使鏡頭相對于目標(biāo)平行移動， a的所用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。 ZkjkttttfkjfDWjjkjkj??????,)2(2)()(),(),)((2,，????() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是 ， 它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì) 。 ??????????????????????? 1,21 121,0 1)(xxt?() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明： 小波級數(shù)、信號的小波逼近 ? ?Zkjktj ?? ,|)2(?構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)正交基，通過規(guī)范化處理， () ),( )2(2)( 2, Zkjktt jjkj ??? ??構(gòu)成 L2(R)的一個(gè)規(guī)范正交基。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因此我們需要這樣一個(gè)數(shù)學(xué)工具：既能在時(shí)域很好地刻畫信號的局部性 ，同時(shí)也能在頻域反映信號的局部性 ， 這種數(shù)學(xué)工具就是 “ 小波 ” 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 例 歌聲信號 歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù) ， 其傅立葉變換就是將這個(gè)波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Daubechies小波 一些著名的小波 [3]： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Coiflets小波 Symlets小波 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University Morlet小波 Mexican Hat小波 Meyer小波 SKIP College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University RETURN College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 傅立葉變換與時(shí)頻分析 [4] 我們知道，任何復(fù)雜的周期信號 f(t)可以用簡單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級數(shù)， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡單的調(diào)和 振蕩函數(shù)，直觀講都是正弦波。 常用的變換 [2]有： (1) KL變換 (2) Walsh變換 (3) 傅立葉變換 (4) 小波變換 如圖所示 是信號 f(t)的傅立葉變換示意圖 。 因?yàn)樾盘柺悄芰坑邢薜?， 即 滿足條件 ()的所有函數(shù)的集合就形成 L2(R) 圖像是二維信號 ， 同樣是能量有限的 。College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 一、認(rèn)識小波 預(yù)備知識 從數(shù)學(xué)的角度講，小波是構(gòu)造函數(shù)空間正交基的基本單元，是在能量有限空間 L2(R) 上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認(rèn)識小波需要 L2(R) 空間的基礎(chǔ)知識，特別是內(nèi)積空間中空間分解、函數(shù)變換等的基礎(chǔ)知識。 實(shí)際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實(shí)的場景中經(jīng)過采樣和量化處理后得到的 。 信號 f(t)經(jīng)傅立葉變換由時(shí)域變換到頻域 ， 基底不同得到大變換也不同 。 kk ba 和是函數(shù) f(t)的傅立葉系數(shù)， 可由以下公式計(jì)算： ???????1000 )s i nc o s(2)(ikk tkbtkaatf ??() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 于是，周期函數(shù) f(t) 就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對應(yīng)，即 從數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了 ， 傅立葉級數(shù)的前 N項(xiàng)和是原函數(shù) f(t) 在給定能量下的最佳逼近： ????2,1,0s i n)(22,1,0c o s)(20000??????ktd tktfTbktd tktfTaTkTk，??() () ? ???),(),(,)( 22110 babaatf ? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于 L2(R)上的非周期函數(shù) f(t) ，有 ? ? 0s i nc o s2)(l i m201000 ??????????? ????dxtkbtkaatfT NkkkN??() ? ???? ?? dtetff ti ?? )()(?() 稱 )(? ?f 為 f(t)的傅立葉變換，反變換公式為 ? ????? ?? ? deftf ti)(?)(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 有了傅立葉變換 ， 我們可以很容易地將時(shí)域信號 f(t)轉(zhuǎn)換到頻域 上 ， 于是信號的頻率特性一目了然 ， 并且與傅立葉級數(shù)一樣 ， 傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項(xiàng) ， 這種能量集中性有利于進(jìn)一步的處理 。 但遺憾地是 ， 傅立葉變換無法反映信號在哪一時(shí)刻有高音 ， 在哪一時(shí)刻有低音 ， 因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起 ， 如圖所示 。 從函數(shù)分解的角度 ， 希望能找到另外一個(gè)基函數(shù) ?(t) 來代替 sint。故任何一個(gè)能量有限信號f(t)?L2(R) 可以分解為 () ?? ?????? ??????dtttfttfctctfkjkjkjZj Zkkjkj)()()(),