【正文】 信號在小波空間的展開為 ? ??? ??????Zj ZkkjkjZjW tttfftf j )()(),()( , ??() 但實踐中不可能進行無窮次逼近，不妨設 f(t)?VJ，則因為 )( 1112211JjWWWVWWVWVVJjjjJJJJJJ???????????????????所以 ? ????? ??????????Jjj ZkkjkjZkkjkj tttftttftf )()(),()()(),()( , ????表示從尺度 2J到 2j進行了 (Jj)次小波分解(jJ) College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 實際計算時 ， 可以一次一次地進行小波分解 ， 然后遞推實現(xiàn) (Jj)次小波分解 ， 不妨記一次小波分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為 ?????????kjkjkjkjfdfc,,??? ?? ??????????nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVV,1,1,11,1, ?????? 來表示：的一組基可由，則由于() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University )2()22()(21)2()2(22,1,1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj?????????????????????????令??????而 因為 ? ???? ?????? dtkttktth k )2()()2(),( ????代入 ()式得 故 knnjkj htt 2,1, 21)(),(?? ??? ??College of Mathematics and Computer Science, Hebei University )2(21212,1,12, knnhhnknjnnnjknkj ????? ????????? 令???從而 ?????????????nknjnnknjnkjkjchtfhtfc2,12,1,21),(21),( ??我們得到如下的遞推公式： ?????Znknjnkj chc 2,1,21 () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 現(xiàn)在來求 dj,k的遞推公式， ? ?? ??????????nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVW,1,1,11,1, ?????? 來表示：的一組基可由，則由于() )2()22()(21)2()2(22,1,1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj?????????????????????????令??????而 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因為 ? ???? ?????? dtkttkttg k )2()()2(),( ????代入 ()式得 )2(21 212,1,12,knnggnknjnnnjknkj??????????????令???故 knnjkj gtt 2,1, 21)(),(?? ??? ??College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 從而 ?????????????nknjnnknjnkjkjcgtfgtfd2,12,1,21),(21),( ??我們得到如下的遞推公式： ?????Znknjnkj cgd 2,1,21 () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 通過公式 ()和 ()， 可以很快計算出尺度系數(shù)和小波系數(shù){cj,k,dj,k}， 這就是著名的 Mallat算法： 因此 ， 只要確定 VJ空間的初始序列 {cJ,k}k?Z， 就可以算出任意空間Vj(jJ)的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù) 。 公式 ()和 ()稱為離散小波變換的分解公式 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 又由于 ?Vj+1=Vj?Wj， Vj?Wj，因此 Vj上的標準正交基與 Wj上的標準正交基是相互正交的。它們共同構成 Vj+1上的標準正交基，則 Vj+1上的函數(shù) {?j+1,n}j,n?Z可以由這兩個基共同表示： ??????? ??????ZkkjkjnjZkkjkjnjnj ,1,1,1 , ???????有前面的計算可知： knkjnjknkjnjgh2,12,121,21,??????????????故 ??????? ??ZkkjknZkkjknnj gh ,2,2,1 2121 ???College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 從而 ????????????????????????ZkkjknZkkjknZkkjknZkkjknnjnjdgchtfgtfhtfc,2,2,2,2,1,12121),(21),(21),(???這就是 Mallat重構算法： College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波的應用 [1,4,8,9] 小波的應用主要是信號的處理，其中最典型的應用是小波圖象壓縮。另外，小波在諸如信號去噪、特征提取等多方面均有成功的應用。下面以圖象去噪為例說明小波應用策略。小波的各種應用均可分為以下三步： 1）對原始信號作小波變換，將信號由空域變換到頻域； 2）對小波系數(shù)做相應處理； 3）對處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，還原原信號。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波信號去噪一 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波信號去噪二 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 圖像融合 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波圖像去噪 [8] 因為噪聲信號多包含在具有較高頻率的細節(jié)中 ，所以小波去噪首先對圖像信號進行小波 分解 ， 可利用門限閾值對所分解的小波系數(shù)進行處理 ， 然后對圖像信號進行小波重構 ， 抑制圖像信號中的無用部分 ， 恢復圖像信號中的有用部分 。 具體步驟為： ? 圖像信號的小波分解：選擇合適的小波及恰當?shù)姆纸鈱哟?N， 對目標圖像進行 N層的小波分解； ? 對分解后的高頻系數(shù)進行閾值量化：對于分解的每一層 ， 選擇恰當?shù)拈撝?， 對該層高頻系數(shù)進行閾值量化處理； ? 重構圖像：根據(jù)小波分解后的第 N層近似的低頻系數(shù)和經過閾值量化處理后的 細節(jié)高頻系數(shù) ， 重構圖像 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University College of Mathematics and Computer Science, Hebei University