小波分析課件第四章多分辨分析和正交小波變換-閱讀頁(yè)
2025-05-14 05:34本頁(yè)面
【正文】 ?????? ? 簡(jiǎn)化之后可寫(xiě)成 ： ^( 2 ) ( )2 2 2 2^()2 2 2( ) ( ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( )22( ) ( )2 2 2i t i tnRRi t n i n i x i nnnRRi n i x i nnnRt e dt g t n e dtggt n e e d t n x e e dxgge x e dx e??? ? ? ?? ? ?? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???????????? ???????????????nninnninninninegGehHGegHeh????????????????????2)(2)()()()(2)2()()()(2)2(^^^^^^ 上式表明： 所代表的 的有限頻率范圍 ，在 的作用下被壓縮一半 ， 成為 ， 代表的是 的有限頻率范圍 ， 結(jié)合前面的子頻帶含義 ， 可知 反映的是低頻部分 ， 起了低通濾波作用 ， 相應(yīng)的 為 低通數(shù)字濾波器 ；同理 , 在 的作用下 被壓縮一半 ， 成為 代表的是 的有限頻率范圍 ， 結(jié)合前面的子頻帶含義 ， 可知 反映的是高頻部分 ， 因此 ， 起了高通濾波作用 ， 相應(yīng)的 為 高通濾波器 。 2,( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj jkkj j k Zf t w t t f t L Rd ??? ? ? ???()t? {}nh{}ng? ?? n n ntht )2()( ??? ?? n n ntgt )2()( ??001 VWV ?? ● 一、 正交小波級(jí)數(shù) 如果尺度函數(shù)（生成元） 是平移正交的，分解的小波子空間具有什么性質(zhì)？ 定理 設(shè) 生成 MRA，并為尺度函數(shù)， 為小波函數(shù)。 （ 4） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基， f(t)可展開(kāi)成正交小波級(jí)數(shù)： 1 ,j j j j jV W V V W j Z? ? ? ? ?jV ,{ ( ) }jk t?()tn? ?jW ,{ ( ) }jk t?,{ ( )}jk t? 2()LR,( ) ( ) ( ( ) , ( ) )jjj k j kkkj k Zf t t f t tdd???? ? ＝ 證明：如果基函數(shù)平移標(biāo)準(zhǔn)正交，則表明： 0,222( ( ) , ( ) ) ( ( 2 ) , ( 2( ) ) )( ( 2 ) , ( 2 ( 2 ) ) ( ( 2 ) , ( 2 )12k n mnmk m in m n i kn m n iinn n knt t k h t n h t k mh t n h t k m h t n h t ihh? ? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ????11( ( 2 ) , ( 2 ) ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22RRt n t i t n t i d t t n t i d t? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???0 , 21( ( ) , ( ) )2k n n knt t k g g? ? ? ?? ? ? ?()tk? ?同理， 標(biāo)準(zhǔn)正交等價(jià)為： （ 1）證明 的基函數(shù) 關(guān)于平移指標(biāo) k是標(biāo)準(zhǔn)正交的。根 據(jù) (1)的結(jié)論只要證明 是平移正交的即可。 jW )}({ , tkj?,{ ( )}jk t?{ )}tk? ?（22 1 1 211 1 2 2 0 ,m11( ( ) , ( ) ) ( 1 ) ( 1 )221122n n kn n k n n knnmnn n k m m k knt t k g g h hh h h h????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??????? ?jm? jmWW和,{ ( ) }jk t?● 二、正交小波變換 上面圖表反映了兩個(gè)事實(shí)。 jV jW ))(),(()()(,ttfttfkjjkkjkjkjcc???? ?))(),(()()(,ttfttwkjjkkjkjkjdd???? ?1?jV1?jWcjkjtf11)(??)(1 tw j ?)( tfjWRL ??)(2? ??jkjkjk ttf d )()( ,???jV 1jV?()jft由于 的正交性，展開(kāi)系數(shù)為 。 下面一條線(xiàn)反應(yīng)的是多分辨分解。 ,{ ( )}jk t? ,( ( ) , ( ) )j jkk f t tc ??()jftjW 1jV?()jwt ,{ ( )}jk t?,( ( ) , ( ) )jjkk f t td ??()ft 離散小波分解所表現(xiàn)的局部時(shí)－頻分析方法 第三章的小波變換具有局部時(shí)－頻分析的特點(diǎn) ，時(shí)頻窗具有自適應(yīng)能力 ， 由 MRA確定的離散小波分解有同樣的效果 。如果， 是標(biāo)準(zhǔn)正交的，則 表現(xiàn)出小波變換的形式。 由 MRA所確定的離散小波分解把 分解為若干子頻帶分量 ，通過(guò)對(duì) 的分析來(lái)達(dá)到局部時(shí)頻分析的目的。信號(hào)被分解為若干個(gè)細(xì)節(jié)，局部信號(hào)的低頻細(xì)節(jié)或高頻細(xì)節(jié)都將在不同的小波分量 中得到表現(xiàn) 。這個(gè)局部信號(hào)的時(shí)域特征將綜合地、然而又是細(xì)致地表現(xiàn)在各個(gè)小波
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