小波分析課件第四章多分辨分析和正交小波變換-wenkub.com
2025-04-26 05:34 本頁面
【正文】 這個(gè)局部信號(hào)的時(shí)域特征將綜合地、然而又是細(xì)致地表現(xiàn)在各個(gè)小波分量中 。 由 MRA所確定的離散小波分解把 分解為若干子頻帶分量 ，通過對(duì) 的分析來達(dá)到局部時(shí)頻分析的目的。 ,{ ( )}jk t? ,( ( ) , ( ) )j jkk f t tc ??()jftjW 1jV?()jwt ,{ ( )}jk t?,( ( ) , ( ) )jjkk f t td ??()ft 離散小波分解所表現(xiàn)的局部時(shí)－頻分析方法 第三章的小波變換具有局部時(shí)－頻分析的特點(diǎn) ，時(shí)頻窗具有自適應(yīng)能力 ， 由 MRA確定的離散小波分解有同樣的效果 。 jV jW ))(),(()()(,ttfttfkjjkkjkjkjcc???? ?))(),(()()(,ttfttwkjjkkjkjkjdd???? ?1?jV1?jWcjkjtf11)(??)(1 tw j ?)( tfjWRL ??)(2? ??jkjkjk ttf d )()( ,???jV 1jV?()jft由于 的正交性，展開系數(shù)為 。根 據(jù) (1)的結(jié)論只要證明 是平移正交的即可。 2,( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj jkkj j k Zf t w t t f t L Rd ??? ? ? ???()t? {}nh{}ng? ?? n n ntht )2()( ??? ?? n n ntgt )2()( ??001 VWV ?? ● 一、 正交小波級(jí)數(shù) 如果尺度函數(shù)（生成元） 是平移正交的，分解的小波子空間具有什么性質(zhì)？ 定理 設(shè) 生成 MRA，并為尺度函數(shù)， 為小波函數(shù)。 2 ,( ) { ( ) | , }jkL R span t j k Z???{}jV { ( )}jft{}jW ()j jw t W?jV ()jft,( ) ( )jjjkkkZf t tc ??? ? , ()jk t?, ()jk t? ()jft 空間的 的頻寬只有 的一半， （ 的頻窗中心為： ,頻窗半徑為： 再由 可知， ， 分為了兩部分：一部分是一半頻寬的低頻部分，由 表示；另一部分是關(guān)于 的相對(duì)高頻部分，由 表現(xiàn)，為 帶通函數(shù) 。 jW ,{ ( )}jk t?jW ()jwt ,( ) ( )jjjkkkZw t td ??? ?,{ ( )}jk t? ()jwt jW2( ) ( )f t L R?? ?2 jL R W?? jW2( ) ( )f t L R?()j jw t W?2,( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj jkkj j k Zf t w t t f t L Rd ??? ? ? ??? 實(shí)際上，已經(jīng)看出了兩條途徑，一條為基于子空間序列 逼近途徑 ；一條是基于正交子空間序列 的系列分量 。上式也表明了 的傳遞關(guān)系 01VV? ()t?2}{),2()( lhnthtnnn? ??? ??01WV? { ( )}tk? ?1V2}{),2()( lgntgtnnn? ??? ??（雙尺度方程） ()t? 01WV?1VjW由于 是 Riesz基， ， 是 的 Riesz 基。 ● MRA確定了 的子空間直和分解關(guān)系 t?（）/ 2 / 2,01 / 2 ( 1 ) / 2 1 1 / 21,( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 * 2 )2 2 ( 2 ) 2 ( )j j j jjnnjjn n j nnnt t h t nh t n h t? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ????10VV? ? 1 0 1/W V V??? 0 1 1V W V???? 2()LRjV 1jV?按照前面的分析，畢竟 不等于 ，也即 比 對(duì) f(t) 近似的好，但二者之間肯定有誤差。 )(},0{)( 221 RLVVRLVV jZjjZjjj?????????????,{ ( ) | ( ) ( 2 ) , }jj j k j kV span t t t k k Z? ? ?? ? ? ?,{ ( )}jk t?2220, ()jjkkKKjADk jkk tC c C?????? 1986年 ． 基 礎(chǔ) 上 提 出 了 多 分 辨 分 析 (Multiresolution Analysis， 簡(jiǎn)稱 MAR） . MRA是指一系列嵌套式子空間逼進(jìn)序列 ，滿足如下要求： 1） 2） 221 ( ) { 0 } , ( )j j j jj Z j ZV V L R V V L R???? ? ? ? ? ?/2,{ ( ) | ( ) 2 ( 2 ) , }jjj j k j kV span t t t k k Z? ? ?? ? ? ?{}j j zV ?3） 4） 是 Riesz基。 ? ?jkc? ?jkC)(1tfn ?)( tfn 多尺度逼近中函數(shù)子空間的相互關(guān)系 在多尺度逼近中 ， 若尺度 j和基函數(shù) 給定 ， 不同的組合系數(shù) 對(duì)應(yīng)著不同的 ， 這些函數(shù)可歸為同一類函數(shù) ， 均由相同的基函數(shù) 描述出來 ， 都是平方可積的 ， 記為： 為線性函數(shù)空間 ， 且 。當(dāng) j →∞時(shí)， 中的每一個(gè)函數(shù)都變成無窮的窄，因此，有 , ()jk t?()jft()jf
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