小波分析理論簡介-資料下載頁
2025-06-22 21:22本頁面
【正文】 量空間的一組基，就可以對任一M 維向量進行分解，找出在這組基下的坐標。只要認準被分解的對象是M 維向量空間的一個向量，而不是再看做 或 中向量的坐標。這樣，在小波分解中，不僅得到各頻率水平的坐標 可按原來的步驟和方法進行分解，而且得到的各頻率水平的坐標 也可按向量分解的理論進行再分解，并且分解的步驟和方法可以和對坐標 進行再分解的完全一樣?？赡苡腥藭a生疑問：前面講到， = ，現(xiàn)在 中的向量怎么又變成 中的向量呢 ？其實，這里使用了“移花接木”的技巧。我們現(xiàn)在是對 中的向量分解，這是千真萬確的。但，是通過對其坐標 的分解來實現(xiàn)的。也就是說，要求的是等于什么 ？ 而不是 中的向量 等于什么 ？ 中的向量 等于 = （76）既然要求的是等于什么，而不是 等于什么，不妨“移花接木”一下，把拿來，虛構 中一向量 ， = （77）不就可以對進行分解了嗎？反正在分解過程中，使用的是、 ，求的是新的和，而根本就不出現(xiàn)，管它是什么樣子呢！只要保證分解后低頻與高頻分離即可。既然分解，低頻與高頻能分離，那么，分解，同樣低頻與高頻可以分離的。其實從（74）式中兩個矩陣、的組成，都是兩尺度序列、中的數，仔細分析一下，不難看出，中的列相當于低階振型，中的列相當于高階振型。以后的工作和小波包的分解類似，只不過這里是直和分解，不是正交分解罷了。前面曾提到，小波分解的第一步，將投影到上（見公式（48））。由于投影到上求小波系數要解方程，很費時間，所以，好多書上都說，可以近似地把原始數據作為小波系數，誤差不大。用向量分解小波包的理論來看，這并非是近似的，而是精確的！事實上，使用上面“移花接木”的技巧，虛構 中一向量 = （78） 是原始數據組成的向量。那末，不就是中的向量的坐標嗎？只要對它進行分解與重構就得了，而且，重構后，也用不著通過（78）式求，重構得到的，就是原始數據組成的向量，兩頭??！ 當然，我并非反對投影，而且在捕捉突變奇異信號時，最靈敏的方法是利用導數確定，投影到上先求出作為的中的向量的坐標，能得到快速的求導方法。但這是另外的問題了。有了向量分解小波包新理論，可以在分解過程中，把各種小波組合到一起，例如，求 時，可以用三次樣條小波，這樣確保濾波重構不失真、求導精度高的長處，在分解的時候，可使用正交分解的分解序列系數，以提高分解效率。這樣，上帝雖然沒有將“四合一”的小波函數“直接”恩賜給人類，但還是間接地恩賜給人類了。我們研制的小波包信號處理軟件，具有三種小波包分解、分解后各頻率水平的分析、64 種濾波重構功能及重構后的傅立葉變換和奇異信號大小分析功能。三種小波包分別是“向量分解小波包”、“雙正交小波包”和“Daubechies正交小波包”。通過實例對比，向量分解小波包分析效果遠比后者好，而且分解速度相當快，4096個點，分解所花 CPU 秒。具體實例見后。圖 一 原始實測數據（4096=個點）圖 二 原始實測數據中疊加上一個低頻低幅正弦拍波圖 三 檢測到的正弦拍波曲線圖 四 檢測到的正弦拍波曲線（三次樣條小波）與（使用向量分解小波包） 圖 五 檢測到的正弦拍波曲線（使用雙正交小波包） 圖 六 檢測到的正弦拍波曲線（使用Daubechies正交小波包）（五） 結論 1 根據傅立葉變換的理論，在一定的條件下，一個周期函數可以表示為傅立葉級數。傅立葉理論不僅在數學上有很大的理論價值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信息在許多情況下，具有實際的物理意義，所以傅立葉變換得到了廣泛的應用。但是，這種理論具有一定的局限性：（1） 傅立葉變換的三種形式中的傅立葉系數是不隨時間變化的常數，因而只能處理頻譜成分不變的平穩(wěn)信號。在處理非平穩(wěn)信號時會帶來很大誤差、得到的數學頻譜與實際的物理頻譜可能會有很大的差別。 （2） 由于正弦函數、余弦函數是整個時間軸上的函數，導致傅立葉系數是全時間域上的加權平均，處理、捕捉突變信號，靈敏度很差。 （3）加窗傅立葉變換雖然作了改進，但是，由于時間窗是固定不變的，高頻與低頻的時間局部化不能同時滿足。2 小波分析從理論上克服了上述傅立葉變換的三個缺點。由于小波系數隨時間變化，所以，不論是平穩(wěn)信號還是非平穩(wěn)信號得到的小波頻譜與實際的物理頻譜，都十分接近。由于小波具有緊支撐的性質，局部突變信息的作用能很好地反映出來，處理、捕捉突變信號，靈敏度很高。小波函數的選擇，對分析結果影響很大。根據不同的用途，應慎重選擇合適的小波函數。目前國內外大多數小波分析軟件，沒有解決第一步的小波系數求解問題，因此，沒有解決離散數據的快速求導、捕捉突變信號、極值與積分問題。3 我們研制的向量分解小波包軟件 XIAOBB，使用的是三次樣條小波函數，它具有階連續(xù)、線性相位、緊支撐的性質，濾波不失真，頻譜分析精度高。 由于我們使用了巧妙的投影技術，可以快速地求出小波分解第一步所需要的小波系數，從而解決了離散數據的快速求導、捕捉突變信號、極值與積分問題。20
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