小波分析理論簡介(文件)
【正文】 基向量能分解才能分解的框框呢？即，基向量不能分解時也能分解？答案是肯定的。我們把矩陣、的每一列，看成向量空間的一個向量，把也看成向量空間的一個向量，那么，就是這些矩陣、的列向量的一個線性組合： = + （75）問題是，這些矩陣、的列向量是否線性無關(guān)？由分解等式（43）和（44）可知，當(dāng)為零向量時，k=1,2,3,……,，這就得出了矩陣、的列向量是線性無關(guān)的結(jié)論。這樣，在小波分解中，不僅得到各頻率水平的坐標 可按原來的步驟和方法進行分解，而且得到的各頻率水平的坐標 也可按向量分解的理論進行再分解，并且分解的步驟和方法可以和對坐標 進行再分解的完全一樣。也就是說，要求的是等于什么 ？ 而不是 中的向量 等于什么 ？ 中的向量 等于 = （76）既然要求的是等于什么，而不是 等于什么，不妨“移花接木”一下，把拿來，虛構(gòu) 中一向量 ， = （77）不就可以對進行分解了嗎？反正在分解過程中，使用的是、 ，求的是新的和，而根本就不出現(xiàn)，管它是什么樣子呢！只要保證分解后低頻與高頻分離即可。前面曾提到，小波分解的第一步，將投影到上（見公式（48））。但這是另外的問題了。三種小波包分別是“向量分解小波包”、“雙正交小波包”和“Daubechies正交小波包”。傅立葉理論不僅在數(shù)學(xué)上有很大的理論價值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信息在許多情況下，具有實際的物理意義，所以傅立葉變換得到了廣泛的應(yīng)用。 （3）加窗傅立葉變換雖然作了改進，但是，由于時間窗是固定不變的，高頻與低頻的時間局部化不能同時滿足。小波函數(shù)的選擇，對分析結(jié)果影響很大。 由于我們使用了巧妙的投影技術(shù)，可以快速地求出小波分解第一步所需要的小波系數(shù)，從而解決了離散數(shù)據(jù)的快速求導(dǎo)、捕捉突變信號、極值與積分問題。目前國內(nèi)外大多數(shù)小波分析軟件，沒有解決第一步的小波系數(shù)求解問題，因此，沒有解決離散數(shù)據(jù)的快速求導(dǎo)、捕捉突變信號、極值與積分問題。由于小波系數(shù)隨時間變化，所以，不論是平穩(wěn)信號還是非平穩(wěn)信號得到的小波頻譜與實際的物理頻譜，都十分接近。在處理非平穩(wěn)信號時會帶來很大誤差、得到的數(shù)學(xué)頻譜與實際的物理頻譜可能會有很大的差別。具體實例見后。這樣，上帝雖然沒有將“四合一”的小波函數(shù)“直接”恩賜給人類，但還是間接地恩賜給人類了。用向量分解小波包的理論來看，這并非是近似的，而是精確的！事實上，使用上面“移花接木”的技巧，虛構(gòu) 中一向量 = （78） 是原始數(shù)據(jù)組成的向量。其實從（74）式中兩個矩陣、的組成，都是兩尺度序列、中的數(shù)，仔細分析一下，不難看出，中的列相當(dāng)于低階振型，中的列相當(dāng)于高階振型。我們現(xiàn)在是對 中的向量分解，這是千真萬確的。找到了M 維向量空間的一組基，就可以對任一M 維向量進行分解，找出在這組基下的坐標?，F(xiàn)在，讓我們從小波重構(gòu)關(guān)系式（47），k=1,2,3,……,M出發(fā)，導(dǎo)出向量分解小波包的理論。如小波分解中，的基向量 沒有相應(yīng)的分解關(guān)系，所以不能再分解。 無論正交小波包還是雙正交小波包，與小波的最基本的區(qū)別在于它們具有 （63）的關(guān)系。神奇的小波分析為了檢驗小波分析的能力，在實測數(shù)據(jù)中疊加上一個低頻、幅值為原始最大幅值的十分之一的正弦拍波，經(jīng)過小波分解，在和兩個分辨率水平下都檢測到了這個波，尤其是 檢測到的正弦拍波曲線，如荷花“出污泥而不染”?。ㄈ?正交小波包與雙正交小波包分析從上面介紹的多分辨分析的金字塔算法進行小波分解可以看到，每次分解，都是對進行的 ：對 進行小波分解，將 分解為 和 ；再 對 進行小波分解，將 分解為 和 ，依次類推。2 半正交小波 半正交小波的四個族、與滿足：(1) = (2) = (3) = 0, = 0，；j,l,k,m 。三次樣條小波是階連續(xù)，用它模擬一個信號，二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,精度極高。以三次樣條函數(shù)尺度函數(shù) 為例，說明其步驟。為了由高頻到低頻逐次檢測到不同頻率水平的信息，僅有上述兩個函數(shù)是不夠的。依次類推。為什么要選擇四個函數(shù)呢？由前面小波變換的“時間—頻率窗”分析可知，小波變換的“時間—頻率窗”的寬度，當(dāng)檢測高頻信號時變窄，檢測低頻信號時變寬。另一種傾向是放棄正交性，另辟途徑，進行艱辛的長征，前仆后繼，花費了將近半個世紀的探索，才使小波分析理論成熟起來，得以在工程中應(yīng)用。如果選擇某個小波函數(shù)，同時滿足四項指標，那真是人類的福氣。小波分析的最重要的應(yīng)用是濾波，為了保證濾波不失真，小波函數(shù)必須具有線性相位，至少具有廣義線性相位。再分離，再放寬時間窗，再檢測次次高頻信息，依次類推。小波變換的“時間—頻率窗”的寬度，檢測高頻信號時變窄，檢測低頻信號時變寬，這正是時間—頻率分析所希望的。在這一點，小波插值要比有限元高明。這樣就克服了上面所述的第一個不足。小結(jié)：（1） 傅立葉級數(shù)的正弦與余弦系數(shù)為常數(shù)，不能反映振幅變化的情況；（2） 求傅立葉系數(shù)需要所考慮的時間域上所有信息，不能反映局部信息的特征；（
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