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2025-05-03 18:31本頁面
【正文】 為 n個一階子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的并聯(lián) ,如右圖所示。 圖 211 對角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖 例 用部分分式法將 下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型 322()6 1 1 6Gs s s s? ? ? ?y”’+6y”+11y’+6y=2u 解 由系統(tǒng)特征多項式 s3+6s2+11s+6 可求得系統(tǒng)極點為 s1=1 s2=2 s3=3 于是有 332211)(ssksskssksG??????其中 112233[ ( ) ( 1 ) ] 1[ ( ) ( 2 ) ] 2[ ( ) ( 3 ) ] 1sssk G s sk G s sk G s s??????? ? ?? ? ? ?? ? ?故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為 G(s)分式并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出 , 可得如下狀態(tài)空間模型 1 0 0 10 2 0 10 0 3 1[ 1 2 1 ]?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???x x uyx? 將上述結(jié)果與前例的結(jié)果相比較可知 ,即使對同一個系統(tǒng) ,采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法 ,將得到不同的狀態(tài)空間模型。 ? 即 ,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。 2. 傳遞函數(shù)中有重極點時的變換 當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時 ,傳遞函數(shù)不能分解成如式 nnssksskssksG...)( 2211 ????的情況。 ? 不失一般性 ,為清楚地敘述變換方法 ,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有 6個根 ,其值分別為 s1,s1,s1,s4,s5,s5,即 s1為 3重極點 ,s2為 2重極點。 ? 相應(yīng)地 ,用部分分式法可將所對應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為 其中 kij為待定系數(shù) ,其計算公式為 552255144111321123111254315451)()()())(()(...)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsG??????????ljsssGsjkisslijjij ,...,2,1]))(([dd)!1(111?? ?其中 l為極點 si的重數(shù)。 下面以系數(shù) k13的計算公式的推導(dǎo)為例來說明 kij的計算式 將 G(s)的乘以 (ss1)3 ,有 321 1 1 1 2 1 1 3 135 1 5 241124 5 5( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) G s s s k k s s k s skkksss s s s s s? ? ???? ? ?????1231 3 121d [ ( ) ( ) ]2 ! d ssk G s s ss ??? 對等式兩邊求 2次導(dǎo)數(shù)后 2233 5 1 5 2411 1 3 12 2 24 5 5dd( ) ( ) 2 ( )d d ( ) kkkG s s s k s ss s s s s s s s???????? ? ? ? ???????????因此，有 如何選擇狀態(tài)變量 ? 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足 )()()()()()()()()()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY???????選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 )(1)()()(1)()(1)()(1)()()(1)()()(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX??????? 則有 )(1)()( 11)( 212111 sXsssUsssssX ???即有 ? 則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 1 2 2 3 31 1 1445 6 6551 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( )11( ) ( ) ( ) ( )X s X s X s X s X s U ss s s s s sX s U sssX s X s X s U ss s s s? ? ????1 1 1 2 2 1 2 3 3 1 34 4 45 5 5 6 6 5 6x s x x x s x x x s x ux s x ux s x x x s x u? ? ? ? ? ???? ? ? ?相應(yīng)地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6 因此 ,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型 11145511 12 13 41 51 521 01 0111 01[]ssssssk k k k k k?? ???? ???? ???? ??? ???? ???? ???? ???? ?????????x x uyx? 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征 ,即 A為 塊 對角矩陣 ,且每個矩陣方塊為只有一個重特征值的特定矩陣塊 (約旦塊 )。 ? 系統(tǒng)矩陣 A具有上述特定塊對角形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。 ? 事實上 , 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的串 并聯(lián)。 如下圖所示。 1 s s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s s5 1 s s5 1 s s4 1 s s1 1 s s1 例 24 用部分分式法將例 22中微分方程對應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型 48524142)(232??????ssssssG解 由系統(tǒng)特征多項式 s3+5s2+8s+4 可求得系統(tǒng)有二重極點 s1=2和單極點 s2=1,于是有 3311122111)()( ssksskssksG??????其中 12)]1)(([10])2)(([dd4])2)(([13122122211?????????????????sssssGkssGskssGk故 當(dāng)選擇狀態(tài)變量為 G(s)分式串 并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出 ,可得如下狀態(tài)空間模型 2 1 0 00 2 0 10 0 1 1[ 4 10 12 ]? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?x x u
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