【正文】 … ? … an 1 an nx? xn x1 ?n u ?n 1 ?1 1?nx? x2 y ?0 1x?例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此 ,有 ?0=b0=0 ?1=b1a1?0=2 ?2=b2a1?1a2?0 =4 ?3=b3a1?2a2?1a3?0 =12 因此 ,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時 即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ????????????????????uuyuuuyxuyuuyxyuyx???????????242012301201??????其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u??? 5 ? 8 4 3x? x3 x 1 12 u 4 2 2x? x2 y 1x?? 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 ? 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 因此 ,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入 u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn) ,即不能直接將輸出 y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。 ? 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式 ,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對應(yīng)關(guān)系 ,前 n1行為 1個 n1維的零向量與 (n1)?(n1)的單位矩陣 。 ? 取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù) (也稱相變量 )為狀態(tài)變量 ,物理意義明確 ,易于接受。 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) 高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 ? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為 ,不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時的線性定系數(shù)常微分方程為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=bu 其中 y和 u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入 。 解 據(jù)牛頓力學(xué)，故有 顯見為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，故選 和 作為狀態(tài)變量。 雙輸入 三輸出機(jī)械位移系統(tǒng) 例 設(shè)機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示。 ( ) ( )( ) ( )A t B tC t D t? ???????x x uy x u的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 4. 線性定常系統(tǒng) ? 為簡便 ,常將線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為 ?(A(t),B(t),C(t),D(t)). ? 類似地 ,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為 ?(A,B,C,D). ? 幾種簡記符的意義 : ABCD? ???????x x uy x u( , , ) : ABA B C C? ???? ? ??x x uyx( , ) :A B A B?? ? ?x x u( , ) : AAC C? ??? ? ??xxyx 三、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 ? 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來 ,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 ? 上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 ? 非線性系統(tǒng)、 ? 時變系統(tǒng)。 ? 系統(tǒng)矩陣 A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況 , ?它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。 C為 m?n維的輸出矩陣 。 u為 r維的輸入向量 。 ? 對本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程 ,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組 狀態(tài)方程。 ? 試建立以電壓 ui為系統(tǒng)輸入 ,電容器兩端的電壓 uC為輸出的狀態(tài)空間模型。 狀態(tài)變量的個數(shù)一般應(yīng)為 獨(dú)立 一階儲能元件 (如電感和電容 )的個數(shù) + R L C + u C i L u i 二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ? 狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型 ,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。 圖 22 二維空間的狀態(tài)軌線 狀態(tài)變量選取的特點(diǎn)： ?狀態(tài)變量的選取具有 非唯一性 ：即可用某一組， 也可用另一組數(shù)目最少的變量。 ?可以說輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn) ,是狀態(tài)變量的輸出空間的投影 ,一個子集。 ? 它可以是能直接測量或觀測的量 ,也可以是不能直接測量或觀測的量； ? 可以是物理的 ,甚至可以是非物理的 ,沒有實(shí)際物理量與之直接相對應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立的。 一、狀態(tài)空間的基本概念 ? “狀態(tài)”定義的三要素 ? 完全描述 。 ? “狀態(tài)”的定義如下。 ? 更突出的優(yōu)點(diǎn)是 ,它能夠方便地利用數(shù)字計算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算和求解 ,甚至直接用計算機(jī)進(jìn)行實(shí)時控制 ,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。 ? 它能反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變化 ,從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運(yùn)動狀態(tài) ,而且還可以方便地處理初始條件。 ? 在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時 ,系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。 ? 因而 ,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣 ,對各種不同的系統(tǒng) ,其數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡單而且統(tǒng)一。 ? 正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義 ,對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。 ? 該最小變量組中狀態(tài)變量的個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。 ? 最小變量組 。 ? 若要完全描述 n階系統(tǒng) ,則其最小變量組必須由 n個變量 (即狀態(tài)變量 )所組成 ,一般記這 n個狀態(tài)變量為 x1(t),x2(t), …, xn(t). ? 若以這 n個狀態(tài)變量為分量 ,構(gòu)成一個 n維變量向量 ,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量 ,簡稱為狀態(tài)向量 ,并可表示如下 : 1212[ .. . ]...nnxxx x xx???????????????x 系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) x 1 , x 2 ,…, x n u 1 u 2 u r y 1 y 2 y m … … 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖 ? 狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 ? 因此 ,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。 ? 狀態(tài)軌線如圖 22所示。因此， 選狀態(tài)變量的條件是： 各狀態(tài)變量間不能用代數(shù)方法互求，且其數(shù)目對于給定系統(tǒng)是確定的。 ? 例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖所示。 ? 狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲能元件的個數(shù)。 ? 對本例 其中 5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起 ,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型 ???????xyuxxCBA]10[0/10/1/1/][][21????????????????????????CLBCLLRAuuxxCiyux? 由上述例子 ,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為 ABCD? ???????x x uy x u其中 x為 n維的狀態(tài)向量 。 B為 n?r維的輸入矩陣 。 ? 輸出方程 描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。 ? 直聯(lián)矩陣 D則表示了輸入對輸出的直接影響 ,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系 ,即直聯(lián)矩陣 D=0。 3. 線性時變系統(tǒng) ( ) ( )( ) ( )A t B tC t D t? ???????x x uy x u其中各矩陣為時間 t的函數(shù) ,隨時間變化而