【正文】 u為 r維的輸入向量 。 y為 m維的輸出向量 。 A為 n?n維的系統(tǒng)矩陣 。 B為 n?r維的輸入矩陣 。 C為 m?n維的輸出矩陣 。 D為 m?r維的直聯(lián)矩陣 (前饋矩陣 ,直接轉移矩陣 )。 描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型 ,切記 ! ? 對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義 ,有如下討論 : ? 狀態(tài)方程 描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性 , ?其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。 ? 輸出方程 描述的是輸出與系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量的關系。 ? 系統(tǒng)矩陣 A表示系統(tǒng)內部各狀態(tài)變量之間的關聯(lián)情況 , ?它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。 ? 輸入矩陣 B又稱為控制矩陣 , ?它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。 ? 輸出矩陣 C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關系。 ? 直聯(lián)矩陣 D則表示了輸入對輸出的直接影響 ,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關系 ,即直聯(lián)矩陣 D=0。 ? 上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 ? 非線性系統(tǒng)、 ? 時變系統(tǒng)。 1. 非線性時變系統(tǒng) ( , , )( , , )tt? ?????x f x uy g x u其中 f(x,u,t)和 g(x,u,t)分別為如下 n維和 m維關于狀態(tài)向量 x、 輸入向量 u和時間 t的非線性向量函數 f(x,u,t)=[f1(x,u,t) f2(x,u,t) … fn(x,u,t)]? g(x,u,t)=[g1(x,u,t) g2(x,u,t) … gm(x,u,t)]? 2. 非線性系統(tǒng) ( , )( , )? ?????x f x uy g x u其中 f(x,u)和 g(x,u)分別為 n維和 m維狀態(tài) x和 輸入 u的非線性向量函數。 ? 這些非線性函數中不顯含時間 t,即系統(tǒng)的結構和參數不隨時間變化而變化。 3. 線性時變系統(tǒng) ( ) ( )( ) ( )A t B tC t D t? ???????x x uy x u其中各矩陣為時間 t的函數 ,隨時間變化而變化 。 4. 線性定常系統(tǒng) ? 為簡便 ,常將線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為 ?(A(t),B(t),C(t),D(t)). ? 類似地 ,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為 ?(A,B,C,D). ? 幾種簡記符的意義 : ABCD? ???????x x uy x u( , , ) : ABA B C C? ???? ? ??x x uyx( , ) :A B A B?? ? ?x x u( , ) : AAC C? ??? ? ??xxyx 三、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結構圖 ? 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結構圖的方式表達出來 ,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關系。 ? 在采用模擬或數字計算機仿真時 ,它是一個強有力的工具。 ? 系統(tǒng)結構圖主要有三種基本元件 : ?積分器 , ?加法器 和 ?比例器 , 其表示符如圖 24所示。 圖 24 系統(tǒng)結構圖中的三種基本元件 x 2 x 1 x 1 + x 2 ∫ 2xk x ( t ) x kx ()xt (a ) 積分器 (b ) 加法器 (c ) 比例器 ? 例 線性時變系統(tǒng) y x B ( t ) ∫ A ( t ) C ( t ) D ( t ) u + + + + x 39。 ( ) ( )( ) ( )A t B tC t D t? ???????x x uy x u的結構圖如圖所示。 圖 多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結構圖 ? 若需要用結構圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關系 ,則必須根據實際的狀態(tài)空間模型 ,畫出各變量間的結構圖。 ? 圖 26表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入 雙輸出線性定常系統(tǒng)的結構圖。 ????????????????????????????????????????????????????????????????21222112112122211211212122211211212221121121uuddddxxccccyyuubbbbxxaaaaxx??雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結構圖 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立 ? 由機理出發(fā) ? 由微分方程出發(fā) ? 由傳遞函數出發(fā) ? 由系統(tǒng)結構圖出發(fā) 一、 根據系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型 ? 建立被控對象的數學模型是進行系統(tǒng)分析和綜合的第一步 ,是控制理論和工程的基礎 . ? 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構成的電網絡系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據為各電氣元件的物理機理及電網絡分析方法 . ? 這種根據系統(tǒng)的物理機理建立對象的數學模型的方法稱為機理建模 . ? 機理建模主要根據系統(tǒng)的物料和能量 (電壓、電流、力和熱量等 )在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關系 ,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關系 ,如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關系 . ? 建立動態(tài)系統(tǒng)數學模型的主要機理 /依據有 : ? 電網絡系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電流平衡關系 ,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關系 . ? 機械動力學系統(tǒng)中的牛頓第二定律 ,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關系 . 對旋轉運動 ,則相應的為轉矩、角位移和角速度 . ? 化工熱力學系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存 ,化工反應工程系統(tǒng)中參加反應的物料的傳遞和平衡關系 . ? 經濟系統(tǒng)中的投入產出方程。 雙輸入 三輸出機械位移系統(tǒng) 例 設機械位移系統(tǒng)如圖所示。力 F及阻尼器汽缸速度 v為兩種外作用，給定輸出量為質量塊的位移 x及其速度 、加速度 。圖中 m、 k、 f分別為質量、彈簧剛度、阻尼系數。試求該雙輸入 三輸出系統(tǒng)的動態(tài)方程 。 解 據牛頓力學，故有 顯見為二階系統(tǒng)，若已知質量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，故選 和 作為狀態(tài)變量。設 ，三個輸出量為 ，可由微分方程導出下列動態(tài)方程： 其向量 矩陣形式為 式中 機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖表示某電樞控制的直流電動機 ,其中 Ra和 La為電樞回路總電阻和總電感 ,J為轉動慣量 ,負載為摩擦系數為 f的阻尼摩擦 . 試列寫以電樞電壓 u(t)為輸入 ,軸的角位移 ?(t)為輸出的狀態(tài)空間模型 . + J , f f M L a i a R a u 圖 2 10 電樞控制的直流電動機原理圖 ? 解 1. 設電動機勵磁電流不變 ,鐵心工作在非飽和區(qū) . 按照圖所描述的電動機系統(tǒng) ,可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉動動力學方程 其中 Ea和 M分別為如下電樞電勢和轉矩 Ea=Ced?/dt, M=CMia 其中 Ce和 Cm分別為電樞電勢常數和轉矩常數 (含恒定的磁通量 ) . a22dddddda a a aiu R i L EtM J ftt??? ? ???因此 ,上述主回路電壓方程和軸轉動運動方程可記為 2. 選擇狀態(tài)變量 . 對于本例 ,若已知電樞電流 ia(t),角位移 ?(t)和其導數 d?/dt在初始時刻 t0的值 ,以及電樞電壓 u,則上述微分方程組有唯一解 . 因此 ,可以選擇狀態(tài)變量如下 ??