【正文】 ,即系統(tǒng)的狀態(tài) ,就可完全且唯一的確定。 第一節(jié) 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 ? 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的 ,因此 ,對這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論 ,必須準(zhǔn)確掌握和深入理解?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ?現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 ? 狀態(tài) ? 狀態(tài)變量 ? 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)空間模型 1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 ? 動態(tài) (亦稱動力學(xué) )系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運(yùn)動狀況。 ? 動態(tài)時域行為 。 ? 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合 (濾波、優(yōu)化與控制等 )時所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性 ,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。 例如：純電阻電路就沒有狀態(tài)變量，因為在這類電路的元件上，任意時間的電流、電壓僅取決于該時刻的激勵，其形成是一個瞬時的作用， 元件過去的歷史（初始條件）對確定電路中任意元件上的響應(yīng)是無關(guān)的，輸入輸出之間僅是一般的代數(shù)關(guān)系 ，這種系統(tǒng)屬于瞬時（無記憶）系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)就不能用狀態(tài)變量法來分析。 ? 對本例 ,針對 RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系 ,列出各電壓和電流所滿足的方程 ddddLL C iCLiR i L u utuiCt?? ? ????? ??? + R L C + u C i L u i 例 RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 2. 選擇狀態(tài)變量。 A為 n?n維的系統(tǒng)矩陣 。 ? 輸出矩陣 C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。 ? 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件 : ?積分器 , ?加法器 和 ?比例器 , 其表示符如圖 24所示。圖中 m、 k、 f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量 ? 由微分方程理論知 ,若初始時刻 t0的初值 y(t0),y’(t0),…, y(n1)(t0)已知 ,則對給定的輸入 u(t),微分方程有唯一解 ,也即系統(tǒng)在 t?t0的任何瞬時的動態(tài)都被唯一確定。 友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣 ,這在后面的章節(jié)中可以看到 。 類似地 , 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對微分方程建立狀態(tài)空間模型。 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足 因此 ,若選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 則 ,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(...)()()()()(2211 sUssksUssksUssksUsGsYnn?????nisUsssXii ,...,2,1)(1)( ??1 , 2 , . . . ,i i ix s x u i n? ? ?相應(yīng)地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+ knXn(s) 因此 ,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k1x1+k2x2+…+ knxn 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型 12120 ... 0 10 ... 0 1... ... ... ... ...0 0 ... 1[ ... ]nnsssk k k?? ???? ???? ?????? ???? ???????x x uyx上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征 ,即 A為對角線矩陣。 下面以系數(shù) k13的計算公式的推導(dǎo)為例來說明 kij的計算式 將 G(s)的乘以 (ss1)3 ,有 321 1 1 1 2 1 1 3 135 1 5 241124 5 5( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) G s s s k k s s k s skkksss s s s s s? ? ???? ? ?????1231 3 121d [ ( ) ( ) ]2 ! d ssk G s s ss ??? 對等式兩邊求 2次導(dǎo)數(shù)后 2233 5 1 5 2411 1 3 12 2 24 5 5dd( ) ( ) 2 ( )d d ( ) kkkG s s s k s ss s s s s s s s???????? ? ? ? ???????????因此，有 如何選擇狀態(tài)變量 ? 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足 )()()()()()()()()()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY???????選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 )(1)()()(1)()(1)()(1)()()(1)()()(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX??????? 則有 )(1)()( 11)( 212111 sXsssUsssssX ???即有 ? 則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 1 2 2 3 31 1 1445 6 6551 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( )11( ) ( ) ( ) ( )X s X s X s X s X s U ss s s s s sX s U sssX s X s X s U ss s s s? ? ????1 1 1 2 2 1 2 3 3 1 34 4 45 5 5 6 6 5 6x s x x x s x x x s x ux s x ux s x x x s x u? ? ? ? ? ???? ? ? ?相應(yīng)地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6 因此 ,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型 11145511 12 13 41 51 521 01 0111 01[]ssssssk k k k k k?? ???? ???? ???? ??? ???? ???? ???? ???? ?????????x x uyx? 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征 ,即 A為 塊 對角矩陣 ,且每個矩陣方塊為只有一個重特征值的特定矩陣塊 (約旦塊 )。 ? 事實上 , 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的串 并聯(lián)。 ? 事實上 對角線規(guī)范形其實是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為 n個一階子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的并聯(lián) ,如右圖所示。 ? 而分子多項式階次小于分母多項式階次時 ,則稱為嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)。 ? 因此 ,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入 u的導(dǎo)數(shù)項出現(xiàn) ,即不能直接將輸出 y的各階導(dǎo)數(shù)項取作狀態(tài)變量。 ? 取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù) (也稱相變量 )為狀態(tài)變量 ,物理意義明確 ,易于接受。 解 據(jù)牛頓力學(xué)，故有 顯見為二階系統(tǒng)