【正文】 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ?現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。 ? 在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時(shí) ,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述的。 ? 它能反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變化 ,從而能同時(shí)確定系統(tǒng)的全部?jī)?nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài) ,而且還可以方便地處理初始條件。 ? 因而 ,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的全部信息 ,是對(duì)系統(tǒng)行為的一種完全描述。 ?狀態(tài)空間分析法不僅適用于 SISO線性定常系統(tǒng) ,也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、 MIMO系統(tǒng)以及隨機(jī)系統(tǒng)等。 ? 因而 ,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣 ,對(duì)各種不同的系統(tǒng) ,其數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡(jiǎn)單而且統(tǒng)一。 ? 更突出的優(yōu)點(diǎn)是 ,它能夠方便地利用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算和求解 ,甚至直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制 ,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。 第一節(jié) 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 ? 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的 ,因此 ,對(duì)這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論 ,必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。 ? 狀態(tài) ? 狀態(tài)變量 ? 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)空間模型 1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 ? 動(dòng)態(tài) (亦稱動(dòng)力學(xué) )系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在將來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀況。 ? 正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義 ,對(duì)掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。 ? “狀態(tài)”的定義如下。 ? 定義 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) ,是指能夠 完全描述 系統(tǒng) 時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè) 最小變量組 。 ? 該變量組的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。 ? 該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。 一、狀態(tài)空間的基本概念 ? “狀態(tài)”定義的三要素 ? 完全描述 。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時(shí)刻 (t=t0)的值和初始時(shí)刻后 (t?t0)的輸入 ,則系統(tǒng)在任何瞬時(shí) (t?t0)的行為 ,即系統(tǒng)的狀態(tài) ,就可完全且唯一的確定。 ? 動(dòng)態(tài)時(shí)域行為 。 ? 最小變量組 。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立的。 ?減少變量 ,描述不全。 ?增加則一定存在線性相關(guān)的變量 ,冗余的變量 ,毫無(wú)必要。 ? 若要完全描述 n階系統(tǒng) ,則其最小變量組必須由 n個(gè)變量 (即狀態(tài)變量 )所組成 ,一般記這 n個(gè)狀態(tài)變量為 x1(t),x2(t), …, xn(t). ? 若以這 n個(gè)狀態(tài)變量為分量 ,構(gòu)成一個(gè) n維變量向量 ,則稱這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量 ,簡(jiǎn)稱為狀態(tài)向量 ,并可表示如下 : 1212[ .. . ]...nnxxx x xx???????????????x 系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) x 1 , x 2 ,…, x n u 1 u 2 u r y 1 y 2 y m … … 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖 ? 狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。 ? 它可以是能直接測(cè)量或觀測(cè)的量 ,也可以是不能直接測(cè)量或觀測(cè)的量； ? 可以是物理的 ,甚至可以是非物理的 ,沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系 ? 狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。 ? 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合 (濾波、優(yōu)化與控制等 )時(shí)所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性 ,并非系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性。 ? 因此 ,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。 ?可以說(shuō)輸出變量?jī)H僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn) ,是狀態(tài)變量的輸出空間的投影 ,一個(gè)子集。 輸出 空間 空間映射 x y 2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間 ? 若以 n個(gè)狀態(tài)變量 x1(t),x2(t),…, xn(t)為坐標(biāo)軸 ,就可構(gòu)成一個(gè) n維歐氏空間 ,并稱為 n維狀態(tài)空間 ,記為 Rn. ? 狀態(tài)向量的端點(diǎn)在狀態(tài)空間中的位置 ,代表系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 x 1 x 2 x ( t 0 ) x ( t 1 ) x ( t 2 ) x ( t ) ? 隨著時(shí)間的推移 ,狀態(tài)不斷地變化 ,t?t0各瞬時(shí)的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡 ,它稱為狀態(tài)軌線。 ? 狀態(tài)軌線如圖 22所示。 圖 22 二維空間的狀態(tài)軌線 狀態(tài)變量選取的特點(diǎn)： ?狀態(tài)變量的選取具有 非唯一性 ：即可用某一組， 也可用另一組數(shù)目最少的變量。 ?狀態(tài)變量個(gè)數(shù)的選取具有 唯一性 ： ? 要注意的是 狀態(tài)變量雖然具有非唯一性，但不是所有的變量都可以作為狀態(tài)變量。 例如：純電阻電路就沒(méi)有狀態(tài)變量，因?yàn)樵谶@類(lèi)電路的元件上，任意時(shí)間的電流、電壓僅取決于該時(shí)刻的激勵(lì)，其形成是一個(gè)瞬時(shí)的作用， 元件過(guò)去的歷史（初始條件）對(duì)確定電路中任意元件上的響應(yīng)是無(wú)關(guān)的，輸入輸出之間僅是一般的代數(shù)關(guān)系 ，這種系統(tǒng)屬于瞬時(shí)（無(wú)記憶）系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)就不能用狀態(tài)變量法來(lái)分析。因此， 選狀態(tài)變量的條件是： 各狀態(tài)變量間不能用代數(shù)方法互求，且其數(shù)目對(duì)于給定系統(tǒng)是確定的。 狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)一般應(yīng)為 獨(dú)立 一階儲(chǔ)能元件 (如電感和電容 )的個(gè)數(shù) + R L C + u C i L u i 二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ? 狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型 ,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。 ? 狀態(tài)空間模型由 ?描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的 狀態(tài)方程 和 ?描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的 輸出方程 所組成。 ? 下面以一個(gè)由電容、電感等儲(chǔ)能元件組成的二階 RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例 ,說(shuō)明狀態(tài)空間模型的建立和形式 ,然后再進(jìn)行一般的討論。 ? 例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖所示。 ? 試建立以電壓 ui為系統(tǒng)輸入 ,電容器兩端的電壓 uC為輸出的狀態(tài)空間模型。 ? 解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。 ? 對(duì)本例 ,針對(duì) RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系 ,列出各電壓和電流所滿足的方程 ddddLL C iCLiR i L u utuiCt?? ? ????? ??? + R L C + u C i L u i 例 RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 2. 選擇狀態(tài)變量。 ? 狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。 ? 對(duì)本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程 ,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組 狀態(tài)方程。 ? 每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分方程 ,導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為 1,非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)列寫(xiě)在方程的右邊。 ? 對(duì)本例 ,經(jīng)整理可得如下?tīng)顟B(tài)方程 1122 / 1 / 1 /1 / 0 0 ixxR L L L uC?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?寫(xiě)成向量與矩陣形式為： ????????212 ]10[ xxxuC??????????122111dd11ddxCtxuLxLxLRtxi4. 列寫(xiě)描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。 ? 對(duì)本例 其中 5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫(xiě)在一起 ,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型 ???????xyuxxCBA]10[0/10/1/1/][][21????????????????????????CLBCLLRAuuxxCiyux? 由上述例子 ,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為 ABCD? ???????x x uy x u其中 x為 n維的狀態(tài)向量 。