【正文】 多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結構圖 ? 若需要用結構圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關系 ,則必須根據實際的狀態(tài)空間模型 ,畫出各變量間的結構圖。 ? 在采用模擬或數字計算機仿真時 ,它是一個強有力的工具。 1. 非線性時變系統(tǒng) ( , , )( , , )tt? ?????x f x uy g x u其中 f(x,u,t)和 g(x,u,t)分別為如下 n維和 m維關于狀態(tài)向量 x、 輸入向量 u和時間 t的非線性向量函數 f(x,u,t)=[f1(x,u,t) f2(x,u,t) … fn(x,u,t)]? g(x,u,t)=[g1(x,u,t) g2(x,u,t) … gm(x,u,t)]? 2. 非線性系統(tǒng) ( , )( , )? ?????x f x uy g x u其中 f(x,u)和 g(x,u)分別為 n維和 m維狀態(tài) x和 輸入 u的非線性向量函數。 ? 輸入矩陣 B又稱為控制矩陣 , ?它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。 D為 m?r維的直聯(lián)矩陣 (前饋矩陣 ,直接轉移矩陣 )。 y為 m維的輸出向量 。 ? 每個狀態(tài)變量對應一個一階微分方程 ,導數項的系數為 1,非導數項列寫在方程的右邊。 ? 解 1. 根據系統(tǒng)的內部機理列出各物理量所滿足的關系式。 ? 狀態(tài)空間模型由 ?描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的 狀態(tài)方程 和 ?描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關系的 輸出方程 所組成。 ?狀態(tài)變量個數的選取具有 唯一性 ： ? 要注意的是 狀態(tài)變量雖然具有非唯一性，但不是所有的變量都可以作為狀態(tài)變量。 輸出 空間 空間映射 x y 2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間 ? 若以 n個狀態(tài)變量 x1(t),x2(t),…, xn(t)為坐標軸 ,就可構成一個 n維歐氏空間 ,并稱為 n維狀態(tài)空間 ,記為 Rn. ? 狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置 ,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)變量與輸出變量的關系 ? 狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內部動態(tài)特性行為的變量。 ?減少變量 ,描述不全。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻 (t=t0)的值和初始時刻后 (t?t0)的輸入 ,則系統(tǒng)在任何瞬時 (t?t0)的行為 ,即系統(tǒng)的狀態(tài) ,就可完全且唯一的確定。 ? 定義 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) ,是指能夠 完全描述 系統(tǒng) 時間域動態(tài)行為的一個 最小變量組 。 第一節(jié) 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 ? 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上的 ,因此 ,對這些基本概念進行嚴格的定義和相應的討論 ,必須準確掌握和深入理解。 ? 因而 ,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信息 ,是對系統(tǒng)行為的一種完全描述?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ?現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上發(fā)展起來的。 ?狀態(tài)空間分析法不僅適用于 SISO線性定常系統(tǒng) ,也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、 MIMO系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等。 ? 狀態(tài) ? 狀態(tài)變量 ? 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)空間模型 1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 ? 動態(tài) (亦稱動力學 )系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。 ? 該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。 ? 動態(tài)時域行為 。 ?增加則一定存在線性相關的變量 ,冗余的變量 ,毫無必要。 ? 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合 (濾波、優(yōu)化與控制等 )時所關心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性 ,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。 x 1 x 2 x ( t 0 ) x ( t 1 ) x ( t 2 ) x ( t ) ? 隨著時間的推移 ,狀態(tài)不斷地變化 ,t?t0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構成一條軌跡 ,它稱為狀態(tài)軌線。 例如：純電阻電路就沒有狀態(tài)變量，因為在這類電路的元件上，任意時間的電流、電壓僅取決于該時刻的激勵，其形成是一個瞬時的作用， 元件過去的歷史（初始條件）對確定電路中任意元件上的響應是無關的，輸入輸出之間僅是一般的代數關系 ，這種系統(tǒng)屬于瞬時（無記憶）系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)就不能用狀態(tài)變量法來分析。 ? 下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階 RLC電網絡系統(tǒng)為例 ,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式 ,然后再進行一般的討論。 ? 對本例 ,針對 RLC網絡的回路電壓和節(jié)點電流關系 ,列出各電壓和電流所滿足的方程 ddddLL C iCLiR i L u utuiCt?? ? ????? ??? + R L C + u C i L u i 例 RLC電網絡系統(tǒng) 2. 選擇狀態(tài)變量。 ? 對本例 ,經整理可得如下狀態(tài)方程 1122 / 1 / 1 /1 / 0 0 ixxR L L L uC?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?寫成向量與矩陣形式為： ????????212 ]10[ xxxuC??????????122111dd11ddxCtxuLxLxLRtxi4. 列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關系的輸出方程。 A為 n?n維的系統(tǒng)矩陣 。 描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型 ,切記 ! ? 對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義 ,有如下討論 : ? 狀態(tài)方程 描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性 , ?其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。 ? 輸出矩陣 C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關系。 ? 這些非線性函數中不顯含時間 t,即系統(tǒng)的結構和參數不隨時間變化而變化。 ? 系統(tǒng)結構圖主要有三種基本元件 : ?積分器 , ?加法器 和 ?比例器 , 其表示符如圖 24所示。 ? 圖 26表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入 雙輸出線性定常系統(tǒng)的結構圖。圖中 m、 k、 f分別為質量、彈簧剛度、阻尼系數。 ? 這樣的問題稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數學模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u問題的關鍵是如何選擇狀態(tài)變量 ? 由微分方程理論知 ,若初始時刻 t0的初值 y(t0),y’(t0),…, y(n1)(t0)已知 ,則對給定的輸入 u(t),微分方程有唯一解 ,也即系統(tǒng)在 t?t0的任何瞬時的動態(tài)都被唯一確定。該狀態(tài)空間模型可簡記為 : 其中 ABC???? ??x x uyx]0...01[0...0...1...00............0...1011????????????????????????????CbBaaaAnn? 上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣 A與微分方程中的系數 a1, a2,… , an之間 ,輸入矩陣 B與方程中系數 b之間的對應關系 。 友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣 ,這在后面的章節(jié)中可以看到 。 ? 根據上述原則 ,選擇狀態(tài)變量如下 ????????????????????????? )1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx???????????????????其中 ?i(i=0,1,…, n)為待定系數。 類似地 , 由傳遞函數建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對微分方程建立狀態(tài)空間模型。 ? 上述常數項 d即為狀態(tài)空間模型 ?(A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣 D。 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足