【文章內(nèi)容簡介】 ??????????tftJiCtCtiLiRuameaaadddddddd22a???1 2 3d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )datx t i t x t t x tt??? ? ?3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程 ,則有如下狀態(tài)方程 1 1 3233 1 31aea a amRCx x x uL L LxxC fx x xJJ?????????? ???4. 建立輸出方程 y=x2 5. 經(jīng)整理 ,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型 xyuxx]010[00101000??????????????????????????????????amaeaaLJfJCLCLR?二 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 ? 描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù) ,通過選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 這樣的問題稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。 ? 這種變換過程的原則是 ,不管狀態(tài)變量如何選擇 ,應保持系統(tǒng)輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) 高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 ? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為 ,不包含輸入量的導數(shù)項時的線性定系數(shù)常微分方程為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=bu 其中 y和 u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入 。n為系統(tǒng)的階次。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量 ? 由微分方程理論知 ,若初始時刻 t0的初值 y(t0),y’(t0),…, y(n1)(t0)已知 ,則對給定的輸入 u(t),微分方程有唯一解 ,也即系統(tǒng)在 t?t0的任何瞬時的動態(tài)都被唯一確定。 因此 ,選擇狀態(tài)變量為如下 相變量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n1)(t) 可完全刻劃系統(tǒng)的動態(tài)特性。 ? 取輸出 y和 y的各階導數(shù) (也稱相變量 )為狀態(tài)變量 ,物理意義明確 ,易于接受。 ? 將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程 ,有如下狀態(tài)方程 12111.........nnn n nxxxxx a x a x bu????????? ? ? ? ? ??和輸出方程 y=x1 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有 ? ?1 ` 2 10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 1 01 0 0 0n n na a a a b???? ???? ?????? ???????? ????? ? ? ??????x x uyx12[ . . . ] , [ ] [ ]nx x x u y?? ? ?x u y其 中 和 。該狀態(tài)空間模型可簡記為 : 其中 ABC???? ??x x uyx]0...01[0...0...1...00............0...1011????????????????????????????CbBaaaAnn? 上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣 A與微分方程中的系數(shù) a1, a2,… , an之間 ,輸入矩陣 B與方程中系數(shù) b之間的對應關(guān)系 。 ? 通常將上述取輸出 y和 y的各階導數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量 。 ? 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式 ,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項式的系數(shù)有對應關(guān)系 ,前 n1行為 1個 n1維的零向量與 (n1)?(n1)的單位矩陣 。 ? 該類矩陣稱為友矩陣 。 友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣 ,這在后面的章節(jié)中可以看到 。 上述實現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u? ? a1 … ? 1 a 22 … a n 1 an nx?u x n x n 1 x 2 x 1 y 例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”’+6y”+11y’+6y=2u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=2 因此 ,當選擇輸出 y及其 1階與 2階導數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時 , 可得狀態(tài)空間模型如下 0 1 0 00 0 1 06 1 1 6 2[ 1 0 0 ]? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??x x uyx? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為的微分方程的一般表達式為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=b0u(n)+…+ bnu 建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u? 建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量 ? 若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量 ,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n1)(t) 則可得如下狀態(tài)方程 1 2 1()1 1 0.... . . . . .nnnn n n nx x x xx a x a x b u b u?????? ? ? ? ? ? ??? 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件 ,要求輸入 u(t)為分段連續(xù) ,而上述狀態(tài)方程中輸入 u的各階導數(shù)可能不連續(xù) ,從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。 ? 因此 ,狀態(tài)方程中不應有輸入 u的導數(shù)項出現(xiàn) ,即不能直接將輸出 y的各階導數(shù)項取作狀態(tài)變量。 ? 為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導數(shù) ,通常 , ?可利用輸出 y和輸入 u以及其各階導數(shù)的線性組合來組成狀態(tài)變量 ,其原則是 : ?使狀態(tài)方程中不顯含輸出 u的各階導數(shù)。 ? 根據(jù)上述原則 ,選擇狀態(tài)變量如下 ????????????????????????? )1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx???????????????????其中 ?i(i=0,1,…, n)為待定系數(shù)。 因此 ,有 1 0 2 12 1 0 3 2( 1 ) ( 1 )1 2 3 0 1( ) ( )1 2 0( 1 ) ( ) ( 1 )1 0 1()1 2 0nnn n n n nnnn n nn n nnnn n nx y u x ux y u u x ux y u u u x ux y u u ua y a y b u b ub u u u u??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?