【正文】 因此 ,若選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 則 ,經反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(...)()()()()(2211 sUssksUssksUssksUsGsYnn?????nisUsssXii ,...,2,1)(1)( ??1 , 2 , . . . ,i i ix s x u i n? ? ?相應地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+ knXn(s) 因此 ,經拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k1x1+k2x2+…+ knxn 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型 12120 ... 0 10 ... 0 1... ... ... ... ...0 0 ... 1[ ... ]nnsssk k k?? ???? ???? ?????? ???? ???????x x uyx上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征 ,即 A為對角線矩陣。 ? 即 ,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。 下面以系數 k13的計算公式的推導為例來說明 kij的計算式 將 G(s)的乘以 (ss1)3 ,有 321 1 1 1 2 1 1 3 135 1 5 241124 5 5( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) G s s s k k s s k s skkksss s s s s s? ? ???? ? ?????1231 3 121d [ ( ) ( ) ]2 ! d ssk G s s ss ??? 對等式兩邊求 2次導數后 2233 5 1 5 2411 1 3 12 2 24 5 5dd( ) ( ) 2 ( )d d ( ) kkkG s s s k s ss s s s s s s s???????? ? ? ? ???????????因此，有 如何選擇狀態(tài)變量 ? 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足 )()()()()()()()()()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY???????選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 )(1)()()(1)()(1)()(1)()()(1)()()(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX??????? 則有 )(1)()( 11)( 212111 sXsssUsssssX ???即有 ? 則經反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 1 2 2 3 31 1 1445 6 6551 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( )11( ) ( ) ( ) ( )X s X s X s X s X s U ss s s s s sX s U sssX s X s X s U ss s s s? ? ????1 1 1 2 2 1 2 3 3 1 34 4 45 5 5 6 6 5 6x s x x x s x x x s x ux s x ux s x x x s x u? ? ? ? ? ???? ? ? ?相應地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 經拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6 因此 ,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型 11145511 12 13 41 51 521 01 0111 01[]ssssssk k k k k k?? ???? ???? ???? ??? ???? ???? ???? ???? ?????????x x uyx? 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征 ,即 A為 塊 對角矩陣 ,且每個矩陣方塊為只有一個重特征值的特定矩陣塊 (約旦塊 )。 1 s s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s s5 1 s s5 1 s s4 1 s s1 1 s s1 例 24 用部分分式法將例 22中微分方程對應的下述傳遞函數變換為狀態(tài)空間模型 48524142)(232??????ssssssG解 由系統(tǒng)特征多項式 s3+5s2+8s+4 可求得系統(tǒng)有二重極點 s1=2和單極點 s2=1,于是有 3311122111)()( ssksskssksG??????其中 12)]1)(([10])2)(([dd4])2)(([13122122211?????????????????sssssGkssGskssGk故 當選擇狀態(tài)變量為 G(s)分式串 并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出 ,可得如下狀態(tài)空間模型 2 1 0 00 2 0 10 0 1 1[ 4 10 12 ]? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?x x uyx。 ? 事實上 , 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉換為多個子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的串 并聯(lián)。 ? 不失一般性 ,為清楚地敘述變換方法 ,以下設系統(tǒng)特征方程有 6個根 ,其值分別為 s1,s1,s1,s4,s5,s5,即 s1為 3重極點 ,s2為 2重極點。 ? 事實上 對角線規(guī)范形其實是將系統(tǒng)轉換為 n個一階子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的并聯(lián) ,如右圖所示。即 S G ( s ) ? ( A , B , C ) d D 1. 傳遞函數中極點互異時的變換 對于傳遞函數 G(s),其特征方程為 sn+a1sn1+…+ an=0 若其特征方程的 n個特征根 s1,s2,…, sn互異 ,則用部分分式法可將 G(s)表示為 如下并聯(lián)分解 其中 k1,k2,…, kn為待定系數 ,其計算公式為 11 121 2 1 2...( ) . . .( ) ( ) . . . ( ) nnnnnb s b kkkGss s s s s s s s s s s s? ??? ? ? ? ?issii sssGk ?? )])(([下面以 k1計算式的推導過程為例說明的 ki的計算式。 ? 而分子多項式階次小于分母多項式階次時 ,則稱為嚴格真有理傳遞函數。則該高階微分方程可轉化描述為如下不含有輸入導數項的狀態(tài)空間模型 上述實現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結構圖如下圖所示 u??? a1