教案111_正弦定理新授課詳細(xì)教案含教材習(xí)題答案-資料下載頁
2025-10-23 02:10本頁面
【導(dǎo)讀】航行，但此時船員發(fā)現(xiàn)儀表壞了，將不能測量距離，如果船上有測角儀，測得60B???我們能否幫他計算出AC的距離這個問題可以抽象為什么樣的數(shù)學(xué)問題？這是一個實(shí)際問題，我們可以將此轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：“如上圖，在△ABC中，已知60B???，，AB=6千米，怎樣才能求出AC的長度呢？在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系.，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有。從而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC??。（證法一）如圖，當(dāng)ABC?是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)。任意角三角函數(shù)的定義，有sinsinCDaBbA??是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問。類似可推出，當(dāng)ABC?是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.形唯一，所以解是唯一的。注意解的分類討論解的情況。這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形。
【正文】 用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題． 【答案】因為 30A??， 105C??，所以 45B??．因為si n si n si na b cA B C??， 所以 si n 10 si n 45 10 2si n si n 30aBb A ?? ? ??， sin 10 sin 105 5 2 5 6sin sin 30aCc A ?? ? ? ??． 因此， b ， c 的長分別為 102 和 5 2 5 6? ． 【反思】本題中涉及到 105C??的正弦值，可以由 0 0 0 0 0 0s i n 1 0 5 s i n ( 9 0 1 5 ) c o s 1 5 c o s ( 4 5 3 0 )? ? ? ? ?（或 0 0 0 0s i n 1 0 5 s i n 7 5 s i n ( 4 5 3 0 )? ? ?），利用兩角差的余弦公式（或兩角和的正弦公式）求得。 7.【 解答 】【鞏固】【中檔】【 解三角形 】 根據(jù)下列條件解三角形： （ 1） 3 , 6 0 , 1b B c? ? ? ?； （ 2） 6 , 45 , 2c A a? ? ? ?． 【思路】正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題 ． 【答案】（ 1） sin sinbcBC? ， 所以 s in 1 s in 6 0 1s in23cBC b ??? ? ?， , 60b c B??， 所以 CB? ， 所以 C 為銳角， 所以 30 , 90CA??， 所以 222a b c? ? ?． （ 2） sin sinacAC? ， 所以 si n 6 si n 45 3si n 22cAC a ?? ? ?， 所以 60 120C ? 或 ， 所以 當(dāng) sin 6 sin 7 56 0 7 5 , 3 1sin sin 6 0cBC B b C? ? ? ? ? ?時， 所以 當(dāng) sin 6 sin 1512 0 15 , 3 1sin sin 60cBC B b C? ? ? ? ? ?時，所以，3 1 , 75 , 60b B C? ? ? ? 或3 1 , 15 , 12 0b B C? ? ? ?． 【反思】本例中的已知條件都是已知三角形的兩邊及一邊的對角，屬于“ SSA ”問題，要結(jié)合題目條件及三角形的性質(zhì)準(zhǔn)確判斷解的組數(shù)，然后進(jìn)行正確求解。 8.【 解答 】【鞏固】【中檔】【邊角互化】 在 △ABC 中 ， sin2 A＋ sin2 B = sin2 C， 判斷 △ABC 的形狀 ． 【思路】題目條件中只有角的正弦值之間的關(guān)系，但從這種關(guān)系中卻無法得到三角形的形狀，從而只能利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，這樣問題就迎刃而解了 . 【答案】解 :借助正弦定理的邊角互化，運(yùn)用角化邊 . 因為 222 )2()2()2( RcRbRa ?? ，所以 222 cba ?? ，所以 △ABC 為直 角 三角形． 【反思】判斷三角形的形狀，主要是靈活運(yùn)用邊角互化知識 . 9.【 解答 】【 提升 】【 較難 】【邊角互化】在銳角三角形 ABC 中， A=2B， a 、 b 、 c 所對的角分別為 A、B、 C，試求ba的范圍。 【思路】本題由條件銳角三角形得到 B 的范圍，再利 用正弦定理可以將ba轉(zhuǎn)化為角 B 的三角函數(shù)，從而得出ba的范圍。 【答案】在銳角三角形 ABC 中， A、 B、 C900，即： 00000045309031 8090290????????????BBBB ， 由正弦定理知 ? ?3,2c o s2s in 2s ins ins in ???? BBBBAba，故所求的范圍是： ? ?3,2 。 【反思】解決本題的關(guān)鍵是抓住三角形為銳角三角形，即三個角都必需是銳角，從而得到 B 的范圍，然后利用必修 4 所學(xué)內(nèi)容即可得解。 【預(yù)習(xí)作業(yè) 】 預(yù)習(xí)內(nèi)容 余弦定理（一）余弦定理的兩種表現(xiàn)形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題 .體會方程思想在這一節(jié)的應(yīng)用 . 預(yù)習(xí)思考：已知的兩邊和它們的夾角，如何計算出三角形的另一邊和另兩個角？ . 【答案】如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形 .我們依然從量化的角度來研究問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和另兩個角的問題 .
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