教案111_正弦定理新授課詳細(xì)教案含教材習(xí)題答案-資料下載頁(yè)
2024-11-01 02:10本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】航行，但此時(shí)船員發(fā)現(xiàn)儀表壞了，將不能測(cè)量距離，如果船上有測(cè)角儀，測(cè)得60B???我們能否幫他計(jì)算出AC的距離這個(gè)問(wèn)題可以抽象為什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們可以將此轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：“如上圖，在△ABC中，已知60B???，，AB=6千米，怎樣才能求出AC的長(zhǎng)度呢？在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系.，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有。從而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC??。（證法一）如圖，當(dāng)ABC?是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)。任意角三角函數(shù)的定義，有sinsinCDaBbA??是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)。類(lèi)似可推出，當(dāng)ABC?是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.形唯一，所以解是唯一的。注意解的分類(lèi)討論解的情況。這一性質(zhì)來(lái)排除B為鈍角的情形。
【正文】 用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問(wèn)題． 【答案】因?yàn)?30A??， 105C??，所以 45B??．因?yàn)閟i n si n si na b cA B C??， 所以 si n 10 si n 45 10 2si n si n 30aBb A ?? ? ??， sin 10 sin 105 5 2 5 6sin sin 30aCc A ?? ? ? ??． 因此， b ， c 的長(zhǎng)分別為 102 和 5 2 5 6? ． 【反思】本題中涉及到 105C??的正弦值，可以由 0 0 0 0 0 0s i n 1 0 5 s i n ( 9 0 1 5 ) c o s 1 5 c o s ( 4 5 3 0 )? ? ? ? ?（或 0 0 0 0s i n 1 0 5 s i n 7 5 s i n ( 4 5 3 0 )? ? ?），利用兩角差的余弦公式（或兩角和的正弦公式）求得。 7.【 解答 】【鞏固】【中檔】【 解三角形 】 根據(jù)下列條件解三角形： （ 1） 3 , 6 0 , 1b B c? ? ? ?； （ 2） 6 , 45 , 2c A a? ? ? ?． 【思路】正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊和角的問(wèn)題 ． 【答案】（ 1） sin sinbcBC? ， 所以 s in 1 s in 6 0 1s in23cBC b ??? ? ?， , 60b c B??， 所以 CB? ， 所以 C 為銳角， 所以 30 , 90CA??， 所以 222a b c? ? ?． （ 2） sin sinacAC? ， 所以 si n 6 si n 45 3si n 22cAC a ?? ? ?， 所以 60 120C ? 或 ， 所以 當(dāng) sin 6 sin 7 56 0 7 5 , 3 1sin sin 6 0cBC B b C? ? ? ? ? ?時(shí)， 所以 當(dāng) sin 6 sin 1512 0 15 , 3 1sin sin 60cBC B b C? ? ? ? ? ?時(shí)，所以，3 1 , 75 , 60b B C? ? ? ? 或3 1 , 15 , 12 0b B C? ? ? ?． 【反思】本例中的已知條件都是已知三角形的兩邊及一邊的對(duì)角，屬于“ SSA ”問(wèn)題，要結(jié)合題目條件及三角形的性質(zhì)準(zhǔn)確判斷解的組數(shù)，然后進(jìn)行正確求解。 8.【 解答 】【鞏固】【中檔】【邊角互化】 在 △ABC 中 ， sin2 A＋ sin2 B = sin2 C， 判斷 △ABC 的形狀 ． 【思路】題目條件中只有角的正弦值之間的關(guān)系，但從這種關(guān)系中卻無(wú)法得到三角形的形狀，從而只能利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，這樣問(wèn)題就迎刃而解了 . 【答案】解 :借助正弦定理的邊角互化，運(yùn)用角化邊 . 因?yàn)?222 )2()2()2( RcRbRa ?? ，所以 222 cba ?? ，所以 △ABC 為直 角 三角形． 【反思】判斷三角形的形狀，主要是靈活運(yùn)用邊角互化知識(shí) . 9.【 解答 】【 提升 】【 較難 】【邊角互化】在銳角三角形 ABC 中， A=2B， a 、 b 、 c 所對(duì)的角分別為 A、B、 C，試求ba的范圍。 【思路】本題由條件銳角三角形得到 B 的范圍，再利 用正弦定理可以將ba轉(zhuǎn)化為角 B 的三角函數(shù)，從而得出ba的范圍。 【答案】在銳角三角形 ABC 中， A、 B、 C900，即： 00000045309031 8090290????????????BBBB ， 由正弦定理知 ? ?3,2c o s2s in 2s ins ins in ???? BBBBAba，故所求的范圍是： ? ?3,2 。 【反思】解決本題的關(guān)鍵是抓住三角形為銳角三角形，即三個(gè)角都必需是銳角，從而得到 B 的范圍，然后利用必修 4 所學(xué)內(nèi)容即可得解。 【預(yù)習(xí)作業(yè) 】 預(yù)習(xí)內(nèi)容 余弦定理（一）余弦定理的兩種表現(xiàn)形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題 .體會(huì)方程思想在這一節(jié)的應(yīng)用 . 預(yù)習(xí)思考：已知的兩邊和它們的夾角，如何計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角？ . 【答案】如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形 .我們依然從量化的角度來(lái)研究問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題 .
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