教案111_正弦定理新授課詳細(xì)教案含教材習(xí)題答案(已修改)
2024-11-17 02:10 本頁面
【正文】 第一章 解三角形 正弦定理和余弦定理 正弦定理 【創(chuàng)設(shè)情景 引入新知】 某捕魚船從港口 A 航行到港口 B，測得 AB 的距離為 6 千米，在港口 B 卸貨后將繼續(xù)向港口 C航行，但此時船員發(fā)現(xiàn)儀表壞了，將不能測量距離，如果船上有測角儀，測得 60B?? ? ， 45C?? ? ，我們能否幫他計算出 AC 的距離 這個問題可以抽象為什么樣的數(shù)學(xué)問題？ BAC?6 DCBA 這是一個實際問題，我們可以將此轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題： “如上圖，在△ ABC 中 ，已知 60B?? ? ，45C?? ? ， AB = 6 千米，怎樣才能求出 AC 的長度呢？ ” 【探索問題 形成概念】 在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系 . 如圖，在 Rt ABC? 中，設(shè) BCa? ， ACb? ， AB c? ，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有sina Ac? ， sinb Bc? ，又 sin 1 cC c?? ，則 sin sin sina b c cA B C? ? ?， 從而在直角三角形 ABC 中， sin sin sina b cA B C??。 那么對于任意的 三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 我們可以分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： （證法一）如圖，當(dāng) ABC? 是銳角三角形時，設(shè)邊 AB 上的高是 CD ，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有 sin sinCD a B b A??，則 sin sinabAB? ， 同理可得 sin sincbCB? ， 從而 sin sin sina b cA B C??. （證法二）：過點 A 作 j AC? ，如圖： 思考 是否可以用其它方法證明這一等 式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 DCBAC B A 由向量的加法可得 AB AC CB??，則 ? ?j AB j AC CB??， 所以 j AB j AC j CB?? ， ? ? ? ?00c os 90 0 c os 90j A B A j CB C? ? ? ?. 所以 sin sinc A a C? ，即 sin sinacAC? 同理，過點 C 作 j BC? ，可得 sin sinbcBC? ， 從而 sin sin sina b cA B C??. 類似可推出，當(dāng) ABC? 是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。 從上面的研探過程，可得以下定理 : 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 sin sin sina b cA B C??. 正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式 .由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系 . 一般地，把三角形的三個角 A,B,C 和它們的對邊 a,b,c 叫做三角形的元素 .已知三角形的幾個 元素求其他元素的過程叫做解三角形 . 分析正弦定理可知，如果已知三角形的任意兩個角和一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊。如下例： 【例題】在 ?ABC 中，已知 ?A ， ?B ， ?a cm，解三角形。 【思路】直接用正弦定理在解三形，還有三角形內(nèi)角和為 180176。求解 . 【答案】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， 0180 ( )? ? ?C A B 0 0 0180 ( )? ? ? ? ； 根據(jù)正弦定理， 00s i n 4 2 .9 s i n 8 1 .8 8 0 .1 ( )s i n s i n 3 2 .0? ? ?aBb c mA ； 根據(jù)正弦定理， 00s i n 4 2 .9 s i n 6 6 .2 7 4 .1 ( ) .s i n s i n 3 2 .0? ? ?aCc c mA 【反思】已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和任意角，由于兩角已知，故第 三個角確定，進(jìn)而三角形唯一，所以解是唯一的。 如果已知三角形的任意的兩邊與其中一邊的對角，應(yīng)用正弦定理，可以計算出另一邊的對角和正弦值，進(jìn)而確定這個三角形其他的邊和角。如下例： 【例題】在 ?ABC 中，已知 20?a cm， 28?b cm， 040?A ，解三角形（角度精確到 01 ，邊長精確到1cm）。 【思路】已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題 .可結(jié)合正弦定理和三角形內(nèi)角和定理
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