高中數(shù)學(xué)111正弦定理教案-資料下載頁
2025-04-17 12:25本頁面
【正文】 聯(lián)系在一起，并且引入了外接圓半徑R，得到＝＝＝2R這一等式，其變式為a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地實現(xiàn)邊角互化．特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利．(3)向量法①如圖，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90176。－A，j與的夾角為90176。－C.由向量的加法原則可得＋＝，為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算，得到j(luò)(＋)＝j(luò)，由分配律可得j＋j＝j(luò).∴|j|||cos90176。＋|j|||cos(90176。－C)＝|j|||cos(90176。－A)．∴asinC＝csinA.∴＝.同理，可得＝.∴＝＝.②如圖，△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A＞90176。，過點A作與垂直的單位向量j，則j與的夾角為A－90176。，j與的夾角為90176。－C.由＋＝，得j＋j＝j(luò)，即acos(90176。－C)＝ccos(A－90176。)，∴asinC＝csinA.∴＝.同理，可得＝.∴＝＝.③當(dāng)△ABC為直角三角形時，＝＝顯然成立．綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立．二、備用習(xí)題1．在△ABC中，A＝45176。，B＝60176。，a＝10，則b等于( )A．5 B．10 C. D．52．△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinB＝，sinC＝，則a∶b∶c等于 … ( )A．1∶∶2 B．1∶1∶C．1∶2∶ D．2∶1∶或1∶1∶3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝，b＝，B＝120176。，則a等于 … ( )A. B．2 C. D.4．在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且B＝2A，則的取值范圍是 … ( )A．(－2,2) B．(0,2) C．(1，) D．(，)5．在△ABC中，若∠A＝120176。，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積為________．6．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30176。，則sinB＝________.7．在△ABC中，cosA＝－，cosB＝，(1)求sinC的值；(2)設(shè)BC＝5，求△ABC的面積．參考答案：1．D 解析：由正弦定理，知＝，即＝，解得b＝5.2．D 解析：由題意，知C＝60176?；?20176。，B＝30176。，因此A＝90176?；?0176。.故選D.3．D 解析：由正弦定理得＝，得sinC＝，于是有C＝30176?；駽＝150176。(不符合題意，舍去)．從而A＝30176。.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝.4．D 解析：由正弦定理知＝，又∵B＝2A，∴＝＝2cosA.∵△ABC為銳角三角形，∴0176。＜B＜90176。.∴0176。＜2A＜90176。.∴0176。＜A＜45176。.又∵0176。＜C＜90176。，∴A＋B＞90176。.∴3A＞90176。.∴A＞30176。.∴30176。＜A＜45176。.∴＜2cosA＜，即＜＜.故選D.5. 解析：由正弦定理，得＝，即＝，∴sinC＝＝.因此sinB＝，所以S△ABC＝57＝.6. 解析：由正弦定理，得＝，解得sinB＝.7．解：(1)由cosA＝－，得sinA＝.由cosB＝，得sinB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.(2)由正弦定理，得AC＝＝＝，∴△ABC的面積S＝BCACsinC＝5＝.17
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