【正文】 。 的方向 指向電勢降低的方向。 證明：假設(shè)電荷 q0由 2移到 1， 12 UU ??012 ? UUE?2等勢面 ld?1122121 )( pppp WWWWA ?? 0)( 120 ?? UUq的方向為電勢降低的方向。 E? Uld?dndUU ?3P1P2PE?n?12取兩個相鄰近的等勢面 1和 2，電勢分別為 U和 U+dU,且 dU0,. 規(guī)定： 等勢面的法線正方向為指向電勢升高的法線方向。 62 nnUU ?ddg r a d ?定義電勢梯度矢量： 大小 方向 nUdd寫成矢量式 U??算符 ??gr a dkzjyix????????????電勢梯度 是一個矢量 U? 方向 沿電力線的切向并指向電勢升高的方向 如果過 P1沿 方向的電勢增加率為 ， 與 的夾角為 ?。 l?d lUdd l?d n?θnUlU c o sdddd ?沿著等勢面的正法線方向 ?有： Uld?dndUU ?3P1P2PE?n?12)c osdd( θln ??63 根據(jù)場強與電勢的積分關(guān)系，有： 21d UUlE ???? )d( UUU ?? Ud?即： UlE ddc o s ??θlUEc o sdd??nUdd? 電場強度的方向與電勢梯度矢量的方向相反，即 與 反向。 E? n?寫成矢量式： nnUE ?? dd?電場中某一點的電場強度等于該點電勢梯度矢量的負值 場強與電勢 的微分關(guān)系 Ug r a d? U???Uld?dndUU ?3P1P2PE?n?12在直角坐標系中： kzUjyUixUE ???? ???????64 在任意方向上，場強的分量為： θnU c o sdd?注意幾點： 1.“”表示電場強度的方向為電勢降低的方向。 ， ，場強大，電力線也密；等勢面疏處，場強小，電力線也疏。 nnUE ?? dd??co sEE l ?lUdd?65 “變化率”， E 與 U 無直接的關(guān)系。 電勢為零的地方，場強不一定零。場強為零的地方，電勢不一定為零。 q+ + qo q+ qo 0,0 ?? EU ?0,0 ?? EU ?如兩等量異號電荷連線中點上。 如兩等量同號電荷連線中點上。 。 66 量的分布。 如果知道電場強度在空間的分布情況，則根據(jù)電場強度與電勢的積分關(guān)系 ，可求出電勢的分布； ?? ?? aa lEU ?? d 如果知道電勢在空間的分布，則根據(jù)電場強度與電勢的微分關(guān)系 ,進行偏微商運算求得電場強度的分布。 UE dg r a??=0， ,0???nU CU ? 該區(qū)域為等勢區(qū) E=C， ,CnU ??? 該區(qū)域電勢均勻變化。 67 說明： （ 1）場強只與該點電勢梯度有關(guān)，與電勢的大小無關(guān)。 （ 2）場強為零，電勢梯度為零，電勢不一定為零。（如帶電球面內(nèi)） （ 3）場強不為零，電勢梯度不為零，電勢可以零。 （如偶極子中垂線上） 求場強的三種方法： Ⅰ ：場強疊加原理 Ⅱ ：高斯定理 Ⅲ ：電勢梯度 *重要結(jié)論：沿電力線的方向，是電勢降落的方向。 68 例 rqU04???求：由該式求點電荷的場強。 解：由 二、應(yīng)用舉例 222041zyxqU??? ??場強在 x方向的分量 Ex xUEx ???同樣可得 303 2220 4141rqyzyxqyEy ???? ????303 2220 4141rqzzyxqzEz ???? ????)221(43 2220 zyxxq??? ?? 303 2220 4141rqxzyxqx???? ????69 0nnUE ?????0rrU ????00rr4 ππqr????????????0rrq ?204???krqzjrqyirqxE????303030 414141?????????解 2： )(4 1 30kzjyixrq?????? ??x P x a 例 2. 均勻帶電圓環(huán)，帶電荷量為 q，半徑為 a。求軸線上任一點 P 的場強。 220π4 axqV???23220 )(4ddaxqxxVEEx ????? πr 解： 70 例 R ，面電荷密度為 ? ，求 軸線上一點的場強。 解： 由帶電圓盤軸線上一點的電勢公式 )(2 220xRxU ?? ??由于等勢面法線 n0 方向與 x 軸相同， ixU ????oRx0nnUE ?????xUE??? ?????? ???? )(2220xxRx ??)1221(2 220????xRx?????? ?? 22012 xR x??盤中心： x=0 02???OE71 例 p遠區(qū)任一點（ x， y， z）的電勢 ?? ? rqU04 ??解： ? rqU04 ???xzyr?P???rqrqU00 44 ?????? ?rrrrq04)(??204c osrql????204 rr?p???? ?2/32220 )(4 zyxpz?????304 rpz???72 例 。 ?xzyr?P?2/32220 )(4 zyxpzU?????2/52220 )(43zyxp z xxUEx ????????2/52220222)(4)2(zyxyxzpzUEz ????????2/52220 )(43zyxp z yyUEy ????????zryx ??? ,0,0延長線上：22,0 yxrz ???中垂線上：3021rpEz ???304 rpEz ???73 例 ，在電矩為 p 的電偶極子的電場中，將一電量為 q 的點電荷從 A 點沿半徑為 R 的圓弧（圓心與電偶極子中心重合， R l ）移到 B點，求此過程中電場力所作的功。 A BRP解： 電偶極子在空間任意點的電勢 式中 r為從電偶極子中心到場點的矢徑 204 repU r???? ??? ? 4 20 RpU B ??? ? ?204 RpU A ???q從 A移到 B電場力作功（與路徑無關(guān)）為 ? ?BA UUqW ?? ?202 Rpq ???