【導(dǎo)讀】平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題。證明共點(diǎn)問(wèn)題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。證共面問(wèn)題一般用落入法或重合法。經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.平行直線—共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)。兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.，a⊥AO，得a⊥PO，⊥PO.因?yàn)閍⊥PO，但PO不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立.的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等．．多邊形.②棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使czbyaxp???

　　

【正文】 敞htp:@:/ 答案新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 60176。 16新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 【答案】22a 解析新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 以 A、 B、 C、 D 為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取 P、 Q 分別為 AB、 CD 的中點(diǎn)，因?yàn)?AQ=BQ=22a,∴ PQ⊥ AB, 同理可得 PQ⊥ CD，故線段 PQ 的長(zhǎng)為 P、 Q 兩點(diǎn)間的最短距離，在 Rt△ APQ 中，PQ=22)2()23( 2222 ???? aaAPAQ新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 2 a 17． 解：（ 1）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AC AB AD??， ∵ EG OG OE??， ( ) ( )()k O C k O A k O C O A k A C k A B A Dk O B O A O D O A O F O E O H O EE F E H? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ , , ,E F G H 共面； （ 2）∵ ()E F O F O E k O B O A k A B? ? ? ? ? ?，又∵ EG k AC?? ， ∴ // , //E F A B E G A C 所以，平面 //AC 平面 EG ． 共 28 頁(yè) 第 24 頁(yè) 18． 解： (Ⅰ ) 連結(jié) AC , 交 BD 于點(diǎn) O , 連結(jié) PO , 則 PO⊥ 面 ABCD , 又 ∵ AC BD? , ∴ PA BD? , ∵ 11//BD BD , ∴ 11PA BD? ． （ Ⅱ ） ∵ AO⊥ BD , AO⊥ PO , ∴ AO⊥ 面 PBD , 過(guò)點(diǎn) O 作 OM⊥ PD 于點(diǎn) M，連結(jié) AM , 則AM⊥ PD , ∴ ∠ AMO 就是二面角 APDO 的平面角 , 又 ∵ 2, 6AB PA??, ∴ AO= 2 ,PO= 226 ?? 2 2 263P O O DOM PD??? ? ? , ∴ 26t a n2 23AOA M OOM? ? ? ? , 即二面角的大小為 6arctan 2 ． (Ⅲ ) 用 體 積 法 求 解 ：11B PAD A B PDVV??? 11133x P A D B P Dh S A O S??即有111 1 1 12 5 2 ( )3 2 3 2x B D B P B D P B Bh S S S? ? ?? ? ? 解得 655xh ? ， 即 1B 到平面 PAD 的距離為 655 19． 證 ： （ 1）取 CD 中點(diǎn) G，連結(jié) EG、 FG ∵ E、 F 分別是 AB、 PC 的中點(diǎn)，∴ EG//AD， FG//PD， ∴平面 EFG//平面 PAD， ∴ EF//平面 PAD． （ 2）當(dāng)平面 PCD 與平面 ABCD 成 45?角時(shí)，直線 EF?平面 PCD. 證明：∵ G 為 CD 中點(diǎn)，則 EG?CD， ∵ PA?底面 ABCD∴ AD 是 PD 在平面 ABCD內(nèi)的射影。 ∵ CD?平面 ABCD，且 CD?AD，故 CD?PD ．又∵ FG∥ PD∴FG?CD，故 ?EGF 為平面 PCD 與平面 ABCD 所成二面角的平面角，即 ?EGF=45?，從而得?ADP=45?， AD= Rt?PAE?Rt?CBE，得 PE= F 是 PC 的中點(diǎn)，∴ EF?PC. 由 CD?EG， CD?FG，得 CD?平面 EFG，∴ CD?EF，即 EF?CD， 故 EF?平面 PCD． 20．解法一： （ 1）如圖，以 C 為原點(diǎn)， CA、 CB、 CE 所在的射線為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 . 不妨設(shè) BD=1，則 E（ 0， 0， 2）， A（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 1）， B（ 0， 2， 0） 由 M 是 AD 的中點(diǎn)，得 M )21,1,1( )0,2,2(),23,1,1( ???? ABEM 共 28 頁(yè) 第 25 頁(yè) ABEMABEM ??? 得0 （ 2） )2,0,2(),1,2,2( ???? AEAD 設(shè)面 ADE 的法向量 n=（ x， y， z） 由 )1,21,1(,0,0 ????? nA D EnAEnAD 的一個(gè)法向量為易求平面 又94,c o s)21,1,1( ?????? BMnBM ∴直線 BM 和平面 ADE 所成角為94arccos2 ??。 解法二： （ 1）如圖，過(guò) M 作 MN⊥ AB，由 DB⊥面 ABC?? 2 分 ， 面，得面，面 CEBDMN A B CMNA B CA B D ////? ??? ∵ M 是 AD 中點(diǎn)， N 是 AB 中點(diǎn)， CA=CB， ∴ CN⊥ AB 由三垂線定理，得 EM⊥ AB （ 2）設(shè) CB 和 ED 延長(zhǎng)線交于 F，不妨設(shè) BD=1 易求 52,5。23,3,22,2 ?????? AFDFBMADABBF 3,53s in,54c os ????? ? A D FSD F AD F A 得 設(shè) B 到面 AEF 的距離為 h，由 32, ???? hVV A D FBA B FD 得 設(shè)直線 BM 和平面 ADE 所成角為 94sin, ?? BMh?? 94arcsin?? 。 21．解：（Ⅰ）取 BD 的中點(diǎn) O，連接 AO， CO，在△ BCD 中， ∵ BC = DC，∴ CO⊥ BD，同理 AO⊥ BD 而 AO∩ CO = O，∴ BD⊥平面 AOC， 又 ?AC 平面 AOC，∴ AC⊥ BD. （Ⅱ）取 FC 的中點(diǎn) M，連接 EM， DM， ∵ E 是 BC 的中點(diǎn)，∴ BF∥ EM， ∵ ?EM 平面 MED，∴ BF∥平面 MED， ∴ FC 的中點(diǎn) M 即為所求 . （Ⅲ）∵△ ABD 是等腰直角三角形，∠ BAD = 90176。， ∴ AO = BO = DO；∵ CA = CB = CD， CO 是公共邊 ， ∴△ COA≌△ COB≌△ COD； ∴∠ COA=90176。，即 CO⊥ AO， 又 CO⊥ BD， AO∩ BD = O，∴ CO⊥平面 ABD 共 28 頁(yè) 第 26 頁(yè) 即點(diǎn) C 在底面 ABD 上的射影是線段 BD的中點(diǎn) 。 22． 解析： 主要 考察立體幾何中的位置關(guān)系、體積． (Ⅰ )證明：連結(jié) BD ，則 BD // 11BD ， ∵ ABCD 是正方形，∴ AC BD? ． ∵ CE? 面 ABCD ，∴ CE BD? ． 又 C?AC CE ，∴ BD? 面 ACE ． ∵ AE? 面 ACE ，∴ BD AE? ， ∴ 11BD AE? ． （ Ⅱ ）證明：作 1BB 的中點(diǎn) F，連結(jié) AF CF EF、 、 ． ∵ EF、 是 1BB1CC、 的中點(diǎn)，∴ CE 1BF， ∴四邊形 1BFCE 是平行四邊形， ∴ 1CF// BE ． ∵ ,EF是 1BB1CC、 的中點(diǎn)，∴ //EF BC ， 又 //BC AD ，∴ //EF AD ． ∴四邊形 ADEF 是平行四邊形， AF? //ED ， ∵ AF CF C? ， 1B E ED E? ， ∴平面 //ACF 面 1BDE ． 又 AC? 平面 ACF ， ∴ //AC 面 1BDE ． （ 3） 1 22ABDS A B A D? ? ? ?． 1 1 23 3 3A B D E E A B D A B D A B DV V S CE S CE? ? ? ?? ? ? ? ? ?． （四） 創(chuàng) 新 試題 １．如圖，正三棱柱 ABC— A1B1C1 中， D 是 BC的中點(diǎn)， AA1=AB=1. （ I）求證： A1C//平面 AB1D； （ II）求二面角 B— AB1— D 的大?。? （ III）求點(diǎn) c 到平面 AB1D 的距離 . 創(chuàng)新試題解析答案 1． 解法一（ I）證明： 連接 A1B，設(shè) A1B∩ AB1 = E，連接 DE. ∵ ABC— A1B1C1 是正三棱柱，且 AA1 = AB， ∴四邊形 A1ABB1 是正方形， ∴ E 是 A1B 的中點(diǎn)， 又 D 是 BC 的中點(diǎn)， ∴ DE∥ A1C. 2,4,6 共 28 頁(yè) 第 27 頁(yè) ∵ DE? 平面 AB1D， A1C? 平面 AB1D， ∴ A1C∥平面 AB1D. （ II）解：在面 ABC 內(nèi)作 DF⊥ AB 于點(diǎn) F，在面 A1 ABB1 內(nèi)作 FG⊥ AB1 于點(diǎn) G，連接DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC， ∴ DF⊥平面 A1ABB1， ∴ FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影， ∵ FG⊥ AB1， ∴ DG⊥ AB1 ∴∠ FGD 是二面角 B— AB1— D 的平面角 設(shè) A1A = AB = 1，在正△ ABC 中， DF= .43 在△ ABE 中， 8 2343 ??? BEFG ， 在 Rt△ DFG 中， 36ta n ?? FGDFF G D ， 所以，二面角 B— AB1— D 的大小為 .36arctan （ III）解：∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC，且 AD⊥ BC， ∴ AD⊥平面 B1BCC1，又 AD ? 平面 AB1D，∴平面 B1 BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 內(nèi)作 CH⊥ B1D 交 B1D 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H， 則 CH 的長(zhǎng)度就是點(diǎn) C 到平面 AB1D 的距離 . 由△ CDH∽△ B1DB，得 .5511 ??? DB CDBBCH 即點(diǎn) C 到平面 AB1D 的距離是 .55 解法二： 建立空間直角坐標(biāo)系 D— xyz，如圖， （ I）證明： 連接 A1B，設(shè) A1B∩ AB1 = E，連接 DE. 設(shè) A1A = AB = 1， 則 ).0,0,21(),21,4 3,41(),1,2 3,0(),0,0,0(1 CEAD ? ),21,43,41(),1,23,21(1 ?????? DECA .//,2 11 DECADECA ???? DABCADABDE 111 , 平面平面 ??? ， 共 28 頁(yè) 第 28 頁(yè) .// 11 DABCA 平面? （ II）解： )1,0,21(),0,23,0( 1 ?BA?， )1,0,21(),0,23,0( 1 ???? DBAD， 設(shè) ),(1 rqpn ? 是平面 AB1D 的法向量，則 0,0 111 ???? DBnADn 且 ， 故 )1,0,2(,02 31 ?????? nrrpq 得??； 同理，可求得平面 AB1B 的法向量是 ).0,1,3(2 ??n 設(shè)二面角 B— AB1— D 的大小為 θ ，515||||c os 21 21 ??? nn nn??， ∴二面角 B— AB1— D 的大小為 .515arccos （ III）解由（ II）得平面 AB1D 的法向量為 )1,0,2(1 ?n ， 取其單位法向量 ).0,0,21(),51,0,52( ?? DCn 又 ∴點(diǎn) C 到平面 AB1D 的距離 .55|| ??? nDCd 五、 復(fù)習(xí)建議 1． 位置關(guān)系的判斷，根據(jù)概念、性質(zhì)和定理進(jìn)行判斷，認(rèn)定是正確的，要能證明；認(rèn)定上不正確的，只需舉反例 .注意作圖輔助說(shuō)明 . 2． 證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時(shí)要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路 . 3． 空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一 .解題時(shí)注意各種角的范圍 .異面直線所成角的范圍是 0176。＜ θ ≤ 90176。，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是 0176。≤ θ ≤90176。，其解法是作垂線、找射影； 二面角 0176。≤ θ ≤ 180176。，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 另也可借助空間向量求這三種角的大小 . 4． 與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)基本概念和公式來(lái)計(jì)算，要重視方程的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用 5． 平面圖形的翻折與空間圖形的展開(kāi)問(wèn)題，要對(duì)照翻折（或展開(kāi)）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒(méi)有改變