【正文】 意一元二次方程一般形式中 0?a . （ 2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式 . （ 3） 用配方法時(shí)二 次項(xiàng)系數(shù)要化 1. （ 4） 用直接開(kāi)平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù) . 【 典例精析 】 例 1 選用合適的方法解下列方程 ： （ 1） )4(5)4( 2 ??? xx ； （ 2） xx 4)1( 2 ?? ； （ 3） 22 )21()3( xx ??? ； （ 4） 3102 2 ?? xx . 例 2 已知一元二次方程 04371 22 ?????? mmmxxm ）（ 有一個(gè)根為零，求 m 的值 . 例 3 用 22 長(zhǎng)的鐵絲，折成一個(gè)面積是 30 ㎝ 2 的矩形，求這個(gè) 矩形 的長(zhǎng)和寬 .又問(wèn)：能否折成面積是 32 ㎝ 2 的矩形呢？為什么？ 【 中考演練 】 1．方程 (5x－ 2) (x－ 7)＝ 9 (x－ 7)的解是 _________. 2．已知 2是關(guān)于 x的方程 23 x2－ 2 a＝ 0的一個(gè)解，則 2a－ 1的值是 _________. 3．關(guān)于 y 的方程 22 3 2 0y py p? ? ?有一個(gè)根是 2y? ， 則關(guān)于 x 的方程 2 3xp?? 的解為_(kāi)____. 4． 下列方程中是一元二次方程的有 （ ） ① 9 x2=7 x ② 32y =8 ③ 3y(y1)=y(3y+1) ④ x22y+6=0 ⑤ 2 ( x2+1)= 10 ⑥ 24xx1=0 A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 5. 一元二次方程 (4x＋ 1)(2x－ 3)＝ 5x2＋ 1 化成一般形式 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)后 a,b,c 的值為 （ ） A． 3，－ 10，－ 4 B. 3，－ 12，－ 2 C. 8， － 10， － 2 D. 8， － 12， 4 6． 一元二次方程 2x2－ (m＋ 1)x＋ 1＝ x (x－ 1) 化成一般 形式后二次項(xiàng)的系數(shù)為 1，一次項(xiàng)的系數(shù)為 － 1，則 m 的值為（ ） A. － 1 B. 1 C. － 2 D. 2 7． 解方程 (1) x2－ 5x－ 6＝ 0 ； (2) 3x2－ 4x－ 1＝ 0（用公式法）； (3) 4x2－ 8x＋ 1＝ 0（用配方法）； （ 4） x 222? x+1=0． 8．某商店 4 月份銷(xiāo)售額為 50 萬(wàn)元，第二季度的總銷(xiāo)售額為 182 萬(wàn)元，若 6 兩個(gè)月的月增長(zhǎng)率相同，求月增長(zhǎng)率． ﹡ 課時(shí) 10．一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 【課前熱身】 1． （ 07巴中 ） 一元二次方程 2 2 1 0xx? ? ? 的根的情況為（ ） Ａ．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 Ｂ．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 Ｃ．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 Ｄ．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 2. 若方程 kx2－ 6x＋ 1＝ 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,則 k 的取值范圍是 . 3． 設(shè) x x2 是方程 3x2＋ 4x－ 5＝ 0 的兩根 ,則 ??2111 xx ， .x12＋ x22＝ . 4．關(guān)于 x 的方程 2x2＋ (m2－ 9)x＋ m＋ 1＝ 0，當(dāng) m＝ 時(shí)，兩根互為倒數(shù)； 當(dāng) m＝ 時(shí)，兩根互為相反數(shù) . 5．若 x1 = 23? 是二次方程 x2＋ ax＋ 1＝ 0 的一個(gè)根 ,則 a＝ ，該方程的另一個(gè)根 x2 = . 【 考點(diǎn)鏈接 】 1. 一元二次方程根的判別式： 關(guān)于 x的 一元二次方程 ? ?002 ???? acbxax 的根的判別式為 . （ 1） acb 42? 0? 一元二次方程 ? ?002 ???? acbxax 有兩個(gè) 實(shí)數(shù)根，即?2,1x . （ 2） acb 42? =0? 一元二次方程有 相等的實(shí)數(shù)根，即 ?? 21 xx . （ 3） acb 42? 0? 一元二次方程 ? ?002 ???? acbxax 實(shí)數(shù)根 . 2． 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 若關(guān)于 x 的一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?有 兩根 分別為 1x ， 2x ，那么?? 21 xx ， ?? 21 xx . 3．易錯(cuò)知識(shí)辨析： （ 1）在使用根的判別式解決問(wèn)題時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，要加上二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)限制條件 . （ 2）應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： ① 根的判別式 042 ?? acb ； ② 二次項(xiàng)系數(shù) 0a? ，即只有在 一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系 . 【 典例精析 】 例 1 當(dāng) k 為何值時(shí)，方程 2 6 1 0x x k? ? ? ?， （ 1）兩根相等；（ 2）有一根為 0；（ 3）兩根為倒數(shù) . 例 2 （ 08武漢） 下列命題： ① 若 0abc? ? ? ，則 2 40b ac??； ② 若 b a c??，則一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； ③ 若 23b a c??，則一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? 有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； ④ 若 2 40b ac??，則二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 2或 3. 其中正確的是（ ） Ａ .只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④． 例 3 （ 06泉州） 菱形 ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為 6，邊 AB的長(zhǎng)是方程 01272 ??? xx 的一個(gè)根，則菱形 ABCD的周長(zhǎng)為 . 【 中考演練 】 1． 設(shè) x1， x2是方程 2x2＋ 4x－ 3＝ 0 的兩個(gè)根，則 (x1＋ 1)(x2＋ 1)= __________， x12＋ x22＝_________， 1211xx? ＝ __________， (x1－ x2)2＝ _______. 2． 當(dāng) c? __________時(shí)，關(guān)于 x 的方程 22 8 0x x c? ? ? 有實(shí)數(shù)根．（填一個(gè)符合要求的數(shù)即可） 3. 已知關(guān)于 x 的方程 2 ( 2) 2 0x a x a b? ? ? ? ?的 判別式等于 0，且 12x? 是方程的根，則ab? 的值為 ． 4. 已知 ab， 是關(guān)于 x 的方程 2 ( 2 1 ) ( 1 ) 0x k x k k? ? ? ? ?的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 22ab? 的最小值是 ． 5． 已知 ? ， ? 是 關(guān)于 x 的一元二次方程 22( 2 3 ) 0x m x m? ? ? ?的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足 111??? ??，則 m 的值是（ ） Ａ． 3或 1? Ｂ． 3 Ｃ． 1 Ｄ． 3? 或 1 6． 一元二次方程 2 3 1 0xx? ? ? 的兩個(gè)根分別是 12xx， ，則 221 2 1 2x x xx? 的值是（ ） Ａ． 3 Ｂ． 3? Ｃ． 13 Ｄ． 13? 7． （ 07瀘州） 若關(guān)于 x 的一元二次方程 ??? mxx 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A． ml B． m－ 1 C． ml D． m－ 1 8．設(shè)關(guān)于 x的方程 kx2－ (2k＋ 1)x＋ k＝ 0的 兩實(shí)數(shù)根為 x x2， ， 若 ,4171221 ?? xxxx 求 k的值 . 9．已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ? ?2 1 2 0x m x m? ? ? ? ?． （ 1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 m 的值； （ 2）若方程的兩實(shí)數(shù)根之積等于 2 92mm??，求 6m? 的值． 課時(shí) 11．分式方程及其應(yīng)用 【課前熱身】 1． （ 08泰州） 方程 22 123 ????? xxx 的解是 x= ． 2. 已知 2?xa 與 2?xb 的和等于442?x x，則 ?a ， ?b . 3．解方程1211 2 ??? xx會(huì)出現(xiàn)的增根是（ ） A． 1?x B. 1??x C. 1?x 或 1??x D. 2?x 4． （ 06瀘州） 如果分式 12?x 與 33?x 的值相等 ,則 x 的值是 ( ) A． 9 B． 7 C． 5 D． 3 5． （ 06臨沂） 如果 3:2: ?yx ，則下列各式不成立的是（ ） A．35??yyx B．31??yxy C．312 ?yx D．4311???yx 6． （ 08宜賓） 若分式 122??xx的值為 0，則 x的值為（ ） A. 1 B. 1 C. 177。 1 【 考點(diǎn)鏈接 】 1． 分式方程 :分母中含有 的方程叫分式方程 . 2．解分式方程的一般步驟： （ 1）去分母，在方程的兩邊都乘以 ，約去分母，化成整式方程； （ 2）解這個(gè)整式方程； （ 3）驗(yàn)根，把整式方程的根代入 ，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去 . 3. 用換元法解分式方程的一般步驟： ① 設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式；② 解所得 到的關(guān)于輔助 未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；③ 把輔助未知數(shù)的值代入原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值；④ 檢驗(yàn)作答 . 4．分式方程的應(yīng)用： 分式方程的應(yīng)用題與一元一次方程應(yīng)用題類(lèi)似，不同的是要注意檢驗(yàn)： （ 1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列 ；（ 2）檢驗(yàn)所求的解是否 . 5．易錯(cuò)知識(shí)辨析： （ 1） 去分母時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng) . （ 2） 解分式方程的重要步驟是檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法是可代入最簡(jiǎn)公分母 , 使最簡(jiǎn)公分母為 0的值是原分式方程的增根 ,應(yīng)舍去 ,也可直接代入原方程驗(yàn)根 . （ 3） 如何由增根求 參數(shù)的值：①將原方程化為整式方程；②將增根代入變形后的整式方程，求出參數(shù)的值 . 【 典例精析 】 例 1 （ 08沈陽(yáng) ） 解分式方程： 1 233xxx????． 例 2 (08 東莞 )在 2022 年春運(yùn)期間，我國(guó)南方出現(xiàn)大范圍冰雪災(zāi)害，導(dǎo)致某地電路斷電 .該地供電局組織電工進(jìn)行搶修 .供電局距離搶修工地 15 千米 .搶修車(chē)裝載著所需材料先從供電局出發(fā)， 15分鐘后，電工乘吉昔車(chē)從同一地點(diǎn)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá) 搶修工地．已知吉普車(chē)速度是搶修車(chē)速度的 倍，求這兩種車(chē)的速度 . 例 3 某中學(xué)庫(kù)存 960 套舊桌凳，修理后捐助貧困山區(qū)學(xué)校．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)木工小組 都想承攬這項(xiàng)業(yè)務(wù)．經(jīng)協(xié)商后得知：甲小組單獨(dú)修理這批桌凳比 乙小組多用 20天；乙小組每天比甲小組多修 8套；學(xué)校每天需付甲小組修理費(fèi) 80 元，付乙小組 120元． （ 1）求甲、乙兩個(gè)木工小組每天各修桌凳多少套． （ 2）在修理桌凳過(guò)程中，學(xué)校要委派一名維修工進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，并由學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天10元的生活補(bǔ)助．現(xiàn)有以下 三種修理方案供選擇： ① 由甲單獨(dú)修理；② 由乙單獨(dú)修理；③ 由甲、乙共同合作修理． 你認(rèn)為哪種方案既省時(shí)又省錢(qián)？試比較說(shuō)明． 【 中考演練 】 1． （ 07江西 ） 方程 0112 ??? xx 的解是 ． 2． (08 福建 )若關(guān)于 x 方程 2332 ????? x mxx 無(wú)解，則 m 的值是 ． 3. (08黃岡 )分式方程 3111122 ???? xx的解是 ． 4. 以下是方程 1211 ??? xxx 去分母、去括號(hào)后的結(jié)果，其中正確的是（ ） A． 112 ??? x B. 112 ??? x C. xx 212 ??? D. xx 212 ??? 5． （ 08泰安 ） 分式方程2 1 124xxx????的解是（ ） A． 32? B． 2? C． 52? D． 32 6. (06 重慶 )分式方程 1421